洛伦兹群的矢量表示,生成元及李代数
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发布时间：2024-10-24 12:51
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时间：2024-11-09 10:08
三维空间的旋转始于矢量在空间中的旋转。具体来说，我们可以将一个矢量绕着某一轴线旋转一个特定角度。这种操作可以通过矩阵来描述。
具体矩阵表示如下：
（此处应插入公式）
进一步分析，我们知道旋转一个角度θ可以通过旋转θ/2次θ/2角度来实现。以π为例：
（此处应插入公式）
当θ=π，有：
（此处应插入公式）
接下来，我们分析无穷小转动的性质：
（此处应插入公式）
其中：[公式]
可以看出，[公式]是由一个单位矩阵和一个反对称矩阵构成的。
考虑到：[公式]
引入[公式]，上式可写为：[公式]
我们发现[公式]满足[公式]
其中[公式]是结构常数。
因此，我们可以得出结论，三维旋转矩阵构成一个李群的表示，其生成元是[公式]。
同样，我们还有生成元[公式]。
三维旋转群的李代数就是[公式]张成的线性空间。
（群表示：将群元与矩阵对应）
（生成元：通过指数映射，我们可以得到转动群中的任何一个群元）
（李代数：生成元张成的线性空间，空间中任何一个矢量也是一个生成元[更一般的]）
从转动到Lorentz群，我们回顾一下Lorentz变换，它可以用六个矩阵描述对四维矢量的作用（三个转动，三个boost）。
绕[公式]轴转动：[公式]
绕[公式]轴转动：[公式]
绕[公式]轴转动：[公式]
（在闵氏时空下的旋转就是三维旋转矩阵与一个一维的单位矩阵）
沿[公式]轴 boost：[公式]
沿[公式]轴 boost：[公式]
沿[公式]轴 boost：[公式]
其中[公式]为快度。
类比前面的做法，我们可以得到六个生成元，以[公式]为例：
（此处应插入公式）
当[公式]，有：
（此处应插入公式）
其中：[公式]
引入[公式]，上式可写为：[公式]
六个生成元：
绕[公式]轴转动：[公式]
绕[公式]轴转动：[公式]
绕[公式]轴转动：[公式]
沿[公式]轴 Boost：[公式]
沿[公式]轴 Boost：[公式]
沿[公式]轴 Boost：[公式]
前面提到，生成元张成的空间中任意的矢量也是生成元，且是更一般的生成元，所以Lorentz群中任意一个群元可以写为：
（此处应插入公式）
通过这种生成元得到的群元我们称之为Lorentz群的矢量表示。
引入[公式]与[公式]
显然有[公式]与[公式]
计算[公式]
（此处应插入公式）
（其中[公式], [公式]）
（此处应插入公式）
（此处应插入公式）
（此处应插入公式）
所以，[公式]也是生成元（同样为矢量表示），任意一个群元可以写为：
（此处应插入公式）
我们还可以将[公式]写为：
（此处应插入公式）
证明：
[公式]可以写为矩阵形式：
（此处应插入公式）
然后就可以逐项验证. Q.E.D
利用[公式]，我们还可以得到[公式]的对易关系：
（此处应插入公式）
证明：计算即可（懒得算） Q.E.D
