在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E...
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发布时间：2024-10-23 19:24
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时间：2天前
（1） ， ；（2）CQ 或CQ ；（3） 或
试题分析：（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合点D为BC的中点可得CD的长，然后证得△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质即可求得结果；
（2）分①当点P在AB边上时，②当点P在AB的延长线上时，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）由△BPD∽△EQD可得 ，若设BP="x" ，则 ， ，可得 ，即得∠QPD=∠C，又可证∠PDE=∠CDQ，则可得△PDF∽△CDQ，再分①当CQ=CD时，②当QC=QD时，③当DC=DQ时，三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可.
（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8
∴BC=10
点D为BC的中点
∴CD=5
可证△ABC∽△DEC
∴ ， 即
∴ ， ；
（2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，
在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，
∴∠DEC=∠B
∵DE⊥BC，∠PDQ=90°
∴∠PDQ=∠BDE=90°
∴∠BDP=∠EDQ
∴△BPD∽△EQD
∴ ，即 ，
∴
∴CQ=EC-EQ ；
②当点P在AB的延长线上时，同理可得： ，
∴CQ=EC+EQ ；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，
∴点P在边AB上
∵△BPD∽△EQD
∴
若设BP="x" ，则 ， ，可得
∴∠QPD=∠C
又可证∠PDE="∠CDQ"
∴△PDF∽△CDQ
∵△PDF为等腰三角形
∴△CDQ为等腰三角形
①当CQ=CD时，可得 ，解得
②当QC=QD时， 过点Q作QM⊥CB于M，
∴ ，
∴ ，解得
③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，
∴ ，
∴ ，解得 (不合题意，舍去)
∴综上所述， 或 .
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
