1.(2017年新课标Ⅱ文)设集合A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},则A∪B＝( ) A.{1,2,3,4}
B.{1,2,3}
C.{2,3,4}
D.{1,3,4}
A 【解析】A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}.故选A.
2.(2017年新课标Ⅱ文)(1＋i)(2＋i)＝( )
A.1－i B.1＋3i C.3＋i D.3－3i B 【解析】(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝2＋3i－1＝1＋3i.故选B.
π
3.(2017年新课标Ⅱ文)函数f(x)＝sin2x＋3的最小正周期为( ) A.4π
B.2π
C.π
πD.2
2π
C 【解析】最小正周期T＝＝π.故选C.
2
4.(2017年新课标Ⅱ文)设非零向量a,b满足|a＋b|＝|a－b|,则( ) A.a⊥b
B.|a|＝|b|
C.a∥b
D.|a|＞|b|
A 【解析】由|a＋b|＝|a－b|,两边平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2,即a·b＝0,则a⊥b.故选A.
x2
5.(2017年新课标Ⅱ文)若a＞1,则双曲线a2－y2＝1的离心率的取值范围是( ) A.(2,＋∞) B.(2,2) C.(1,2)
D.(1,2)
c2a2＋1112
C 【解析】e＝a2＝a2＝1＋a2.∵a＞1,∴1＜1＋a2＜2,则1＜e＜2.故选C.
6.(2017年新课标Ⅱ文)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三 视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
1
A.90π B.63π C.42π D.36π
B 【解析】由题意,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积V1＝π×32×4＝36π,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,其体积V21
＝×(π×32×6)＝27π,∴该组合体的体积V＝V1＋V2＝63π.故选B. 2
2x＋3y－3≤0，
7.(2017年新课标Ⅱ文)设x,y满足约束条件2x－3y＋3≥0，
y＋3≥0，( ) A.－15
B.－9
C.1
D.9
则z＝2x＋y的最小值是
A 【解析】不等式组表示的可行域如图所示,易求得A(0,1),B(－6,－3),C(6,－3).目标函数可化为y＝－2x＋z,由图可知目标函数在点B处取得最小值,最小值为2×(－6)＋(－3)＝－15.
8.(2017年新课标Ⅱ文)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( ) A.(－∞,－2) B.(－∞,1)
C.(1,＋∞)
D.(4,＋∞)
D 【解析】依题意有x2－2x－8＞0,解得x＜－2或x＞4,易知f(x)在(－∞,－2)单调递减,在(4,＋∞)单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(4,＋∞).
9.(2017年新课标Ⅱ文)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩:根据以上信息,则( )
2
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D 【解析】由甲的说法可知乙、丙1人优秀1人良好,则甲、丁两人1人优秀1人良好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲的成绩知道自己的成绩,即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.
10.(2017年新课标Ⅱ文)执行右面的程序框图,如果输入的a＝－1,则输出的S＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
B 【解析】第一次循环:S＝0－1＝－1,a＝1,K＝2；第二次循环:S＝－1＋2＝1,a＝－1,K＝3；第三次循环:S＝1－3＝－2,a＝1,K＝4；第四次循环:S＝－2＋4＝2,a＝－1,K＝5；第五次循环:S＝2－5＝－3,a＝1,K＝6；第六次循环:S＝－3＋6＝3,a＝－1,K＝7.结束循环,输出S＝3.故选B.
11.(2017年新课标Ⅱ文)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) 1
A.10
1 B.5
3
C.10
2D.5
D 【解析】如下表所示,表中的点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的
3
数:
1 2 3 4 5 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) 102＝. 255
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) 共有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为
12.(2017年新课标Ⅱ文)过抛物线C:y2＝4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( ) A.5 B.22 C.23 D.33
C 【解析】由题知F(1,0),则MF所在直线的方程为y＝3(x－1),与抛物线联立,化简,得 1
3x2－10x＋3＝0,解得x1＝,x2＝3,∴M(3,23).由MN⊥l可得N(－1,23),又F(1,0),则NF
3|33－3＋23|
所在直线的方程为3x＋y－3＝0,∴M到直线NF的距离d＝＝23.故选
22(3)＋(－1)C.
13.(2017年新课标Ⅱ文)函数f(x)＝2cos x＋sin x 的最大值为 . 5 【解析】f(x)＝2cos x＋sin x≤22＋12＝5,∴f(x)的最大值为5.
14.(2017年新课标Ⅱ文)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(－∞,0)时,f(x)＝2x3＋x2,则f(2)＝ . 12 【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. .
15.(2017年新课标Ⅱ文)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .
14π 【解析】设球的半径为R,依题意知球的直径为长方形的体对角线,∴2R＝32＋22＋12＝14,球O的表面积S＝4πR2＝π(2R)2＝14π.
4
16.(2017年新课标Ⅱ文)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B＝acos C＋ccos A,则B＝ .
π
3 【解析】由正弦定理得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B,∴cos B1π＝2,则B＝3.
17.(2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1＝－1,b1＝1,a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5,求{bn}的通项公式； (2)若T3＝21,求S3.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则a2＋b2＝－1＋(2－1)d＋q2－1＝2,∴d＋q＝3.① a3＋b3＝－1＋(3－1)d＋q3－1＝5,∴2d＋q2＝6.②
d＝1，d＝3，
(舍去). 联立①②解得或q2＝q＝0
－
∴{bn}的通项公式为bn＝2n1.
(2)由b1＝1,T3＝21得q2＋q－20＝0. 解得q＝－5或q＝4.
2×3
当q＝－5时,由①得d＝8,S3＝3a1＋2d＝21. 2×3
当q＝4时,由①得d＝－1,S3＝3a1＋2d＝－6.
18.(2017年新课标Ⅱ文)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面1
ABCD,AB＝BC＝AD,∠BAD＝∠ABC＝90°.
2(1)证明:直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.
5
【解析】(1)在平面ABCD内,∵∠BAD＝∠ABC＝90°,∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD, ∴BC∥平面PAD.
(2)取AD的中点M,连接PM,CM. 1
∵AB＝BC＝AD,BC∥AD,∠ABC＝90°,
2∴四边形ABCM为正方形,∴CM⊥AD.
∵侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD, ∴PM⊥AD,又AD⊂底面ABCD,∴PM⊥底面ABCD. ∵CM⊂底面ABCD,∴PM⊥CM.
设BC＝x,则CM＝x,CD＝2x,PM＝3x,PC＝PD＝2x. 取CD的中点N,连接PN. 14
则PN⊥CD,∴PN＝2x.
114
S△PCD＝2×2x×2x＝27,解得x＝±2(负值舍去), ∴AB＝BC＝2,AD＝4,PM＝23.
12×(2＋4)
∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD＝3××23＝43. 2
6
19.(2017年新课标Ⅱ文)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获 时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
两个图中的频率/组距改为频率,两个左下图的数字0改为字母O 组距(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率； (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg (3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附:
P(K2≥k) k K2＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62, ∴A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图的列联表:
旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50kg 62 34 7
箱产量≥50kg 38 66 200×(62×66－34×38)2
K的观测值K＝≈15.705.
100×100×96×104
2
2
∵15.705＞6.635,∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图表明:
新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg~55kg之间, 旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg~50kg之间,
且新养殖法的箱产量分布集中程度比旧养殖法的箱产量分布集中程度高, ∴可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,新养殖法优于旧养殖法.
x22
20.(2017年新课标Ⅱ文)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:＋y＝1上，过M作x轴的垂
2→→
线,垂足为N,点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上,且OP·PQ＝1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
→→
【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP＝(x－x0,y),NM＝(0,y0). →→2由NP＝2NM得x0＝x,y0＝y.
2x2y2
∵M(x0,y0)在C上,∴＋＝1,
22∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1,0).设Q(－3,t),P(m,n),
→→→→
则OQ＝Q(－3,t),PF＝(－1－m,－n),OQ·PF＝3＋3m－tn, →→
OP＝(m,n),PQ＝(－3－m,－tn). →→
由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1, 由(1)知m2＋n2＝2,∴3＋3m－tn＝0. →→→→∴OQ·PF＝0,即OQ⊥PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,
∴过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
8
21.(2017年新课标Ⅱ文)设函数f(x)＝(1－x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时,f(x)≤ax＋1,求a的取值范围. 【解析】(1)∵f(x)＝(1－x2)ex,∴f′(x)＝(1－2x－x2)ex. 令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋2. 当x∈(－∞,－1－2)时,f′(x)＜0； 当x∈(－1－2,－1＋2)时,f′(x)＞0； 当x∈(－1＋2,＋∞)时,f′(x)＜0.
∴f(x)在(－∞,－1－2)和(－1＋2,＋∞)单调递减,在(－1－2,－1＋2)单调递增. (2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.
当a≥1时,设函数h(x)＝(1－x)ex,则h′(x)＝－xex＜0(x＞0), ∴h(x)在[0,＋∞)单调递减.
又h(0)＝1,∴h(x)≤1,∴f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1. 当0＜a＜1时,设函数g(x)＝ex－x－1,则g′(x)＝ex－1＞0(x＞0). ∴g(x)在[0,＋∞)单调递增. 又g(0)＝0,∴ex≥x＋1.
当0＜x＜1时,f(x)＞(1－x)(1＋x)2, (1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2), 5－4a－1
取x0＝,则x0∈(0,1). 2
(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0,∴f(x0)＞ax0＋1. 5－1
当a≤0时,取x0＝2,则x0∈(0,1). f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1＞ax0＋1. 综上,a的取值范围是[1,＋∞).
22.(2017年新课标Ⅱ文)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|＝16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
π
2，,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. (2)设点A的极坐标为39
【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ＞0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1＞0). 4
由题设知|OP|＝ρ,|OM|＝ρ1＝.
cos θ
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0), 即(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB＞0). 由题设知|OA|＝2,ρB＝4cos α,
1
∴△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
2
α－π＝2sin2α－π－3≤2＋3. ＝4cos α·sin332π
当α＝－时,S取得最大值2＋3.
12∴△OAB面积的最大值为2＋3.
23.(2017年新课标Ⅱ文)已知a＞0,b＞0,a3＋b3＝2.证明: (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
【解析】(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2＋b2)2≥4.
(2)∵(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
3(a＋b)23(a＋b)3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋, 44∴(a＋b)3≤8,a＋b≤2.
10
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