复合函数的导数练习题

1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是( ) A．y＝un，u＝cosxn B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cosx D．y＝cost，t＝xn 答案 C

2．y＝ex2－1的导数是( ) A．y′＝(x2－1)ex

2

－1

B．y′＝2xexD．y′＝ex

2

2

－1

C．y′＝(x2－1)ex 解析

22－1－x2x

y′＝e (x－1)′＝e1·2x.

－1

答案 B

3．下列函数在x＝0处没有切线的是( ) A．y＝3x2＋cosx 1

C．y＝x＋2x

B．y＝xsinx 1

D．y＝cosx

11

解析 因为y＝x＋2x在x＝0处没定义，所以y＝x＋2x在x＝0处没有切线． 答案 C

4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( ) A．2x－y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0

解析 设切点为(x0，x20)，则斜率k＝2x0＝2， ∴x0＝1，∴切点为(1,1)．

故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案 D

5．y＝loga(2x2－1)的导数是( ) 解析 y′＝答案 A

6．已知函数f(x)＝ax2－1，且f′(1)＝2，则a的值为( )

1

2x2－1

4x

(2x2－1)′＝lna2x2－1

.

lna

B．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0

A．a＝1 C．a＝2

112

解析 f′(x)＝2(ax2－1)－2·(ax－1)′ ＝＝

1

·2ax

2ax2－1ax

. ax2－1

B．a＝2 D．a>0

由f′(1)＝2， 得

a

＝2，∴a＝2. a－1

答案 B

7．曲线y＝sin2x在点M(π，0)处的切线方程是________． 解析 y′＝(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x， ∴k＝y′|x＝π＝2.

又过点(π，0)，所以切线方程为y＝2(x－π)． 答案 y＝2(x－π)

f′x8．f(x)＝e2x－2x，则x＝________.

e－1解析 f′(x)＝(e2x)′－(2x)′＝2e2x－2＝2(e2x－1)． 2e2x－1f′x

∴x＝＝2(ex＋1)． x

e－1e－1答案 2(ex＋1)

能 力 提 升

9．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．

解 ∵函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，

32×2＋2a＝0，∴得a＝－8,4b＋c＝0， b×22＋c＝0，

∴f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8. 又当x＝2时，f′(2)＝16，g′(2)＝4b， ∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16. ∴a＝－8，b＝4，c＝－16.

1

10．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝2x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且l与函数f(x)图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．

1

解 ∵f(x)＝lnx，∴f′(x)＝x，∴f′(1)＝1， 即直线l的斜率为1，切点为(1,0)． ∴直线l的方程为y＝x－1.

y＝x－1，1

又l与g(x)的图像也相切，等价于方程组1只有一解，即方程x2－x＋1＋a

y＝2x2＋a2＝0有两个相等的实根，

∴Δ＝1－4×1(1＋a)＝0，∴a＝－1

22.

品 味 高 考

11．曲线y＝e－2x

＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( B．－12 D．1

解析 ∵y′＝(－2x)′e

－2x

＝－2e

－2x

，

∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2， ∴切线方程为y－2＝－2(x－0)， 即y＝－2x＋2.

如图，由y＝－2x＋2，y＝x，

得交点坐标为(22

3，3)，

y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S＝1×1×21

23＝3.

)

答案 A

12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1

解析 ∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a. ∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0， ∴f′(0)＝a＝1.

又0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案 A

B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1