广义积分、定积分应用

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念.

一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线ye，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图）

x解：

Alimxbedxlim1e1 b0bbxye（2）由曲线，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图）

解：

Alimxaedxlim1e1. aaa02．定义1.设函数fx在区间a,上连续，取ba.如果极限

balimfxdx

bfxdxfxa,a存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作.

即：afxdxfxdxblimab ————（1）

这时，也称广义积分a习惯上称为广义积分afxdx收敛；如果上述极限不存在，函数fx在区间a,上的广义积分就没有意义，

fxdx发散.

fxdxfx,baaab定义2.设函数在区间上连续，取.如果极限

limb存在，则称此极限为函数fx在区间a,上的广义积分，记作bfxdx.

即：bfxdxlimaafxdx ————（2）

bb这时，也称广义积分fxdx收敛；如果上述极限不存在，函数fx在区间

,b上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分fxdx发散.

+定义3.设函数fx在区间-，上连续，如果广义积

b0fxdx 和0fxdx

都收敛，则称上述两广义积分之和为函数fx在区间,上的广义积分，记作：

fxdx0fxdx0fxdx.------（3）

这时，也称广义积分fxdx收敛；否则，就称fxdx发散.

上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分.

例1． 求

1bdxbdxlimlimarctanxlimarctanb.|2211bbb1x1x44 注意：表面上是代入上、下限作差，其实，这里的上限值是函数的极限。上题中每一步都要带上极限号，太过麻烦了，因此，我们借鉴牛-莱公式的格式，介绍一种简单的写法.

dxarctanx..|211x244

例1的另一写法：

1例2求0cosxdx.sinx|0不存在！

例3．求

a1dxpx（a0).

解：（1）当p1时，

a1dxln|x||ax；

ap1（2）当时，

111pdxx|axp1p；

（3）当p1时，

a111pa1pdxx|pax1pp1.

总之，

a1p1,p1,dxp1axp,p1.

x1x2例4.求

x1x2dx0x1x2dx0dx，

由于，

x1x20dx1x2|0，

所以，

x1x2dx发散！

注意：

x1x2（1）没有必要再计算

0dx，即可断定

x1x2dx发散！

x3（2）如果这样做则是错的，请同学们务必要小心：因为1x是奇函数，所以原式=0.

例5.利用递推公式计算

Inexxndx0

解：

Inexdx0xn0xdenxxenx|0n0xn1exdxnIn1...n!

注意：关于噶玛函数有一个著名的余元公式：

01.sin

.1

3．无穷限广义积分的审敛法

广义积分的敛、散性，可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限是否存在来判定，但这种方法很麻烦，有时甚至是行不通的。下面我们研究不通过被积函数的原函数判定广义积分敛散性的方法。

定理1。设函数fx在区间a,上连续，且fx0.若函数

Fxftdtax

在a,上有界，则广义积分afxdx收敛。

fx,gxa,定理2。（比较审敛准则）设函数在区间上连续。

（1）若

0fxgxax且agxdx收敛，则afxdx也收敛 ；

（2）若

0gxfxax且agxdx发散，则afxdx也发散 。

二.无界函数的广义积分

1.引例2.求下述广义曲边梯形的面积.

1x，x轴、y轴及直线x3所围成的图形的面积（作图）

（1）由曲线

y解：

Alim0031xdxlim23223.00

（2）由曲线

y1x，x轴、y轴及直线x3所围成的图形的面积（作图）.

解：

Alim00031dxlim23223.00x

2.定义4.设函数fx在区间a,b上连续，而在点a的右邻域内无界.取0，如果极限

0alimbfxdx

bfxdxfxa,ba存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作.

即：abfxdxfxdxlim00ab ————（4）

这时，也称广义积分a习惯上称为广义积分abfxdx收敛；如果上述极限不存在，函数fx在区间a,b上的广义积分就没有意义，

fxdx发散.

定义5.设函数fx在区间a,b上连续，而在点b的左邻域内无界.取0，如果极限

00alimbfxdx

bfxdxfxa,ba存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作.

fxdxlim即：

abb00afxdx ————（5）

这时，也称广义积分bafxdxfxdx收敛；如果上述极限不存在，则称为广义积分发散.

ab定义6.设函数fx在区间a,b上除点cacb外连续，而在点c邻域内无界.如果两个广义积分

cafxdxfxdx和都存在，则定义

cbbafxdx=cafxdxfxdx+.---------（6）

cb否则，称为广义积分abfxdx发散。

例6．讨论01lnxdx敛、散性

解： 10lnxdxlim00lnxdxlim1ln1.

0011dx1x2例7．讨论的敛、散性

1解：被积函数

fx11lim221,1x0x在积分区间x上除x0外连续且.

由于

001lim101111dxlim1dxdx220011x2，即x发散，所以，x发散.

xa例8．讨论

ab1qdx的敛、散性. （其中q0，为常数）.

解:(1) q1，时

bb11dxlimdxlimln|xa||limlnbalna00axa0000xa；

ba(2)q1,ba11qbdxlimdxlimxa|aqq00a001qxaxbb11

lim111q1qba1qba1q001q；

（3）q1时，

ba11qbdxlimdxlimxa|aqq00a001qxaxbb11

lim11qba1q001q；

总之，

xaab1qba1q,0q1,dx1q,q1.

x3y4x和它的渐进线所围成的面积S. 例9．求由曲线

2解：

S2404xxx33!!2dx2dxx4sint642sin4tdt64.004x4!!2 4x3.贝塔函数

（1） 在积分10xr11xs1dx中有两个参数r,s，因为点0和1都有可能是奇点，所以要把它分成两个积分

来讨论其敛散性。即

10xr11xs1dxxr11x120s1dx1xr11x21s1dx （*）

当r0,s0时

12，在（*）式右端第一个积分中，0可能是奇点，又因为

（1）.由于

0x0xr11xs11xx1rs1

1,s1,1rx1s2,0s1.x1r

1故根据柯西判别法，知道右端第二个积分也收敛，从而0xr11xs1dx收敛。

1x1（2）.由于2，在（*）式右端第二个积分中，1可能是奇点，又因为

0xr11xs1xr11x1s

1,r1,1s1x1r2,0r1.1x1s

当r0时，（*）式右端第一个积分中，0是奇点，因为

0xr11xs11xx1rs1

21s,s1,x1r1,s1.x1r

故根据柯西判别法，知道右端第一个积分发散；同理可知，当s0时，右端第二个积分发散；从而

10xr11xs1dx发散。

（2）定义 称函数

r,sxr11x01s1dxr0,s0为贝塔函数。

可证贝塔函数有下述主要性质：

a.r,ss,r;

b.r,srs;rs

1综合上述讨论知道：当r0,s0时，0xr11xs1dx收敛；其他情况下均发散。

杂例1.证明柯西不等式：（书p154.7） 设函数fx,gx在区间a,b上可积，则

bfxgxdxbf2xdx.bg2xdx.aaa 22Ftfxtgxdx,t,a证明：令

b则

0Ftt2g2xdx2tfxgxdxf2xdxaaabbb.

bfxgxdx4bf2xdx.bg2xdx.aaa 所以，042bfxgxdxbf2xdx.bg2xdx.aaa 即：2杂例2.设函数fx在区间a,b上有连续的导数fx且fa0，

证明：

baf2xbadx222bafxdx2（书p161,14）

xxfxfxdx1.fxdxaa 证明：

22xxxb12dx.f2xdxxaf2xxaf2xaaaa  222所以，

baf2xdxxaf2xaabbbadxdx222faxdxb2

杂例3.证明：瓦里斯(Wallis)

2n!!1lim.n2n1!!2n12

2证明：设

0x,2对于任意正整数n,由于

2n12n2n1 sinxsinxsinx-------------------------------（1）

2n0所以，20sin2n1xdx2sinxdx2sin2n1xdx0

2n!!2n1!!2n2!!2n1!!2n!!22n1!!---------------------------（2）

从而，

2n!!.2n!!2n2!!2n!!2n1!!2n1!!22n1!!2n1!!-------（3）

注意到：2n1!!2n12n1!!，

2n2!!2n!!,2n----------（4）

2n!!12n!!12n1!!2n122n1!!2n----------------（5）

222n!!12n!!11022n1!!2n12n1!!2n2n1所以，

2222n!!111..0n2n22n2n1!!2n1(因为（2）式) .

2n!!1lim.n2n1!!2n12 故，由夹逼准则知：2杂例4.求概率积分B=0ex2dx的值.

解：（一）

et1t,t0,（ⅰ）由不等式.

故(令tx)

2ex1x2,x,2

1x2ex1ex221.21x----------------------（1）

（ⅱ）由e麦克劳林展开式

tte2e1t1t,t,.!2!.

te 故(令tx)

2x21x2,x, （2）

总之，对

x,1x2ex21.1x2---------------------（3）

（二）.由（3）式：

1xdx2n010enx2dxdx01x2n——————（4）

其中，

101x2ndxxsint2______________0cost.costdt2cos2n1tdt02n2n!!2n1!!—（5）

0enxdx20B2etdt(Betdt)0nn———————（6）

2

dx01x2n2n3!!..122n22xtant2sectdtcostdt00sec2nt2n2!!2

———————（7）

2n!!所以，2n1!!Bn2n3!!.2n2!!2——————————————（8）

222n!!2n3!!22nBn2n1!!2n2!!4 （8）式两边平方：左=

222n!!n2n!!11limnlim..nn2n1!!2n12n1!!2n1224（瓦里斯）.

2222n3!!222n1!!2nnlimnlim2n1nn2n2!!442n!!2n12n1 右=

212...42——————————————————（9） =

所以，由夹逼准则：4B24，所以B=0exdx2.2

1杂例5.求概率积分2的值.

1x2exdx20xt,dx2tdt）2解：（令，则

1211t2t.e.2tdt2etdt2B2..0022

35的值. 杂例6.求概率积分,2235.2235,352222解：

1131132122.2.2282.43!16

杂例7.求积分

11xx20dx的值.

解：

11xx20dx101111112dxx1x20x1x

111.222211,0!112222

2.

杂例8.求积分

01dx41x的值.

11xt,1,4解：令1x则t于是

140313301111444dxt.t1tdtt1t4dt411x404

311.sin311141311444.t.1t4dt,40131224444

第六节 定积分的应用

一．元素法

首先介绍一下定积分应用的一个核心思想：元素法

一般地，如果某一实际问题中所求的量U符合下列条件：

（1）U与变量x的变化区间有关； （2）U对区间a,b具有可加性；

Ufxdx.（3）在代表区间x,xx上U的部分量可近似表示为

那么所求量

Ufxdx.ab并称fxdx为所求量U的元素，记为dufxdx.

二．平面图形的面积

记住几个常用求面积公式

（1）x轴上的曲边梯形的面积

Afxdx.ab

（2）y轴上的曲边梯形的面积

Agydy.cd

22yx,yx例1.计算由曲线所围成平面图形的面积.

解：

A101xx2dx.3

2y例2.计算由曲线2x,yx4所围成平面图形的面积.

y22x,x2,x8,或y2.y4.，故两曲线的交点为A2,2,B8,4. 解：由yx4.若以x为积分变量，则

A202x2xdx822xx4dx18.

若以y为积分变量，则

y2Ay4dy18.22

4x2y2212例3.求椭圆ab的面积.

Aab.

例4.求曲线yx的一条切线L，使该曲线与切线L及直线x=0,x=2所围成的平面图形的面积最小.

Mt,t解：设yx上任意一点，则过M点的切线方程为

yt12txt，即

yxt2t

.xt142Atxdxt.03t2t则

2令

At12tt12tt12tt0,得t1.

当0t1时，At0;当t1时，At0.所以，当t1时，At为最小值。

x1.22

此时，所求切线方程为

y下面再举一个参数方程下求面积的例子.

例5.求星形线xya所围成的面积.

232323解：

A4A14asin3tda.cos3t12a2sin3t.cos2t.sintdt2200



12a2203sin4t1sin2tdta2.8

极坐标下求平面图形的面积一般不会出题，不过还是应该提一提，毕竟这个知识点大纲是要求了解的.

12Ard2首先要记住曲边扇形的面积公式

例6.求曲线r2acos所围成的平面图形（圆）的面积。

解：所求平面图形的面积为

1A2r2d2a22cos2da2.222

例7.求曲线r3cos,r1cos所围成的平面图形的公共部分的面积.

解：

1122A231cosd223cosd0223 

312coscosd29cos2d203

sin2sin2253392sin.|0|242443 

三．旋转体的体积

用定积分所能直接计算其体积的立体仅限于旋转体和平行截面面积已知的立体.

先回顾三个经典公式：

（1）由x轴上的曲边梯形（即由曲线yfx0,x0,xa,xb所围成的平面图形）绕x轴旋转，

Vxf2xdxab；

（2）由y轴上的曲边梯形（即由曲线xgy0,yc,yd,x0所围成的平面图形）绕y轴旋转，

Vyg2ydycd；

（3）由x轴上的曲边梯形（即由曲线yfx0,x0,xa,xb所围成的平面图形）绕y轴旋转，

Vxy2x.fxdxab.

3yx例8.求曲线与x2,y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体的体积.

解：（一）绕x轴

;dx12872Vxx023

（二）绕y轴

64.5

Vxy2x.x3dx02HVH2R.3 例9.证明半径为R,高为H的球缺的体积为

证明：

VRRHRy222HdyH2R.3 222xya例10.求圆盘绕xb(ba0)旋转所成旋转体的体积.

解：方法一（选y为积分变量）

2222xay;xay. 12右半圆 左半圆

取 y,ydy上的体积元素

22dVx1bx2bdy4ba2y2dy

故

V4ba2y2dy8baaa0a2y2dy

1a2ya228byayarcsin|22a2b.2a02

方法二（选x为积分变量）. 取 x,xdx上的体积元素

dV2xb.|2y|dx4xba2x2dx

故

V4xba2x2dx8baaa0a2x2dx22a2b.

1a2ya228byayarcsin|22a2b.2a02

2yaxbxc过原点，当0x1时，y0.又已知该抛物线与x轴及直线x1所围图形的面例11.设抛物线

1,积为3使确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。（研89）

解：抛物线过原点，则c0.又由题意有

ab12b1a.323，即3

Aax2bxcdx01a2abb2Vaxbxdx0235122a2a1a421a5327

dV184525a12aa1a0,a.327451354 令 da得

当

a5dV5dV5530；a0.aa，b,c04时，da4时，da4是唯一的极小值点。所以， 42当所以，，旋

转体的体积最小.

下面举一个平行截面面积已知的立体的体积的求法.

例12.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面成角，如图所示。计算该平面截圆柱体所得立体的体积。

解：取这个平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么，底面圆的

222xyR,立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形，它的两条直角边的边长分别为y,y.tan 方程为

从而截面面积函数为

Ax11y.ytanR2x2tan.22

故

VAxdxRR23Rtan.3

四． 平面曲线弧的弧长

根据不同的坐标系,可分为以下三种计算公式

(一) 在直角坐标系下

1.设曲线方程为yfxaxb,则

dsdxdyb221y2dx1f2xdx

sa1f2xdx

2.设曲线方程为xgycyd,则

dsdxdy22dx21dy1xydydy

2

sdc1xydy2

12的一段弧的长度.

例13．计算曲线

yln1x2上相应于

20x解:

s1201fxdx21202x1dx21x

1201111x221x11222dxdx1dxlnln3.|220001x1x1x22

例14．求曲线

x121ylny1ye42的长度.

解:

se11xydy2e1y11dy22y

21y2e21dy.12y4

e(二)在参数方程下

xxt,tyyt.设曲线的参数方程为

dsdxdy22x2ty2tdt

sx2ty2tdt

(三).在极坐标系下

设曲线方程为rr.则

sr2r2d

xacos3t,0t2,a03例15.求星形线yasint,的长度.

解:

xt3acos2t.sint,yt3asin2t.cost.

ds3acos2t.sint3asint.costdt3acost.sintdt222

226a.s423asint.costdt6sint00所以,

x2y2x1ab0ycsin2222b的一波之长.其中cab. 例16.证明椭圆ab的弧长等于正弦曲线

xacost,0t2ybsint,解:椭圆的参数方程为.

椭圆的弧长

s120xtytdt2220asintbcost22dt

正弦曲线

ycsinxb的一波之长为

s22b01y2xdx2b0xcx1cosdxubbb) (令

2202c2212cosudbub2c2cos2udu0b

20babcosudu222220a2cos2ub2sin2udu(令tu)

2)

acostbsintdt222220acostbsintdt2222(令

s42a2sin2b2cos2ds10.

例17.求心形线ra1cosa0的长度.

解:

s20r2r2d22acosd8a.02

xacos3t,0t2,a03yasint,例18.求由星形线绕直线yx旋转所得的旋转曲面的侧面积.

3t,解:由于曲线关于yx对称,只需考虑44的一段曲线.

xt,ytacos任取曲线上的一微元,端点坐标3t,asin3t.它到直线yx的距离是

asin3tacos3tlt2

曲线微元的弧长

ds3acos2t.sint3asint.costdt3acost.sintdt222

因此曲线微元绕直线yx旋转所得的曲面微元的面积为

asin3tacos3tdA=2.3acost.sintdt2

6a2A=22

sin4343tcos3t.cost.sintdt

333=62a2sintcost.cost.sintdt4sin3tcos3t.cost.sintdt44

23a2421.5

xacos3t,0t2,a03例19.求由星形线yasint,绕直线x轴旋转所得的旋转曲面的侧面积.

解:

A22ytxtytdt42asin3t3acostsintdt20220122a.5

五.定积分的简单物理应用

(一)转动惯量

有些机器上装有飞轮.正在转动的飞轮,一旦切断机器的动力电源,它不会立即停止转动.转动物体的这种能够保持原有转动状态的性质,称为转动惯量.

我们知道,一个平动物体的动能等于

E12mv2.现在假设有质量为m的质点绕固定轴旋转,若它离转轴的垂直

距离为r,转动的角速度为,则它转动时的动能为

112Emrmr2222

12mv22做对比,相当于平动时的速度v,而mr就相当于平等物体的质量.因

2把它与物体平动时的动能公式

2E此用Jmr定义转动质点的转动惯量.(单位:千克.米).

例7.设有个质量均匀分布的飞轮,半径为R,厚度为h,体密度为.求它绕中心转动时的转动惯量.

解::要解决这个问题,不能直接套用公式Jmr因为半径不同的圆周上的点的转动惯量是不相等的.为此,我们

2设想把飞轮分成一个套一个的园环.当每个园环的宽度x很小时,可以近似认为同一个园环上的各点都处在同提个圆周上.故相应于x,xx上的这个园环上的转动惯量近似等于

J2x.h.x.x2

于是得

R1222J2x.h.xdxR.h.R.0dJ2x.h.xdx22,

1mR2.2mR.h.,为飞轮总质量). 2)(其中

计算结果说明,均匀飞轮的转动惯量等于全部质量集中到飞轮边沿时转动惯量的

一半.

例20.设有一根细直棒AB,长为a,横截面为S,体密度为(常数).求它对通过端点A且垂直于AB的轴L的转动惯量.

解:如图建立坐标系,以A为坐标原点, AB为x轴,L为y轴,在AB上任取一小段x,xx,则该小段的质量为

m.S.x当x很小时,可以近似认为小块对轴的距离为x,从而小块对轴的转动惯量为Jx2mSx2x.

2dJSxdx.由元素法的思想, AB绕轴L的转动惯量为 故

a1JSx2dxSa3.03

(二)变力沿直线做功

例21.用铁锤将一铁钉击入木板.设木板对铁钉之阻力与铁钉进入木板之深度成正比.在铁钉被击第一次时,能将铁钉击入木板1厘米.如果铁锤每次打击木板时所做的功相等,问铁锤击第二次时,钉又进多少?

解:设钉进入木板之深度为xcm,则Fxkx(k为比例常数).

铁锤击第一次时所作的功

kW1Fxdxkxdx;002

11设铁锤击第二次时,钉进入木板的总深度为h,则铁锤击第一次时所作的功

k2h1;2

W2Fxdxkxdx11hh21cm.由题设W1W2,故h2.因此铁锤击第二次时,钉又进

(三)压力

由物理学知识,水深为h处的压强为Pgh,其中为水的密度.

(或Ph,其中为水的比重.)如图,如果有一面积为A的平板水平放置在水深为h处,那么平板一侧所受的水压力为FP.A

但,如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强不相等, 平板一侧所受的水压力就不能用上述方法去求.请看下例.

例22.一个横放着的援助形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一个端面所受的压力.

解:桶的一个端面是圆片,所以现在要计算的是当水平面通过圆心时,垂直放置的一个半圆片的一侧所受到的压力.

如图所示,在这个圆片上取过圆心且垂直向下的直线为x轴,过圆心的水平直线为y轴.对此坐标系来说,所讨

222xyR论的半圆方程为.0xR(右半圆).

取x为积分变量,它的变化区间为0,R.设x,xdx为0,R.上任一小区间,半圆上相应于x,xdx上窄条上各点处的压强近似于x,这窄条的面积近似等于

2ydx2R2x2dx.因此,这窄条一侧所受到压力近似为

22dF2xRxdx

于是所受到的压力为

F2xR2x2dx0R23R.3

例23.设有一个等腰梯形闸门,上底为2m,下底为1m,高为3m,较短的边在下,垂直立于水中,露出水面1m时,求水闸对闸门的压力.

解:如图所师,建立坐标系,使闸门的上沿为x轴(其方向向右),闸门的中线为y轴(其方向向下.).则右腰的直线

方程为

x1111,0,y,3.2 6(该直线过点

在水深为y处,介于y,ydy之间的梯形小块所承受的压力的微分为

yydF21.y1.dy21dy6 (其中, 梯形小块的面积6,梯形小块所受压强为y1.所以y2222F21.y1dy98002.41041996(牛)

3(其中.g109.89800)

3(四)引力

例24.设棍长为a,其线密度为常量.距棍右端延长线上a处有一质量为m的质点,求棍子对该质点的引力F.

解:建立如图所示的坐标系(以棍子的左端点为原点,棍子所在直线为x轴)

dx.mmkm.2adFk2ax故

,2Fk0a2axdx2

例25.长为l,质量为M的均匀棍子,如图所示.今将点A(2l处)的一质量为m2的质点移动到B(3l).求克服引力所做的功.

解:

Fxlkm2dx0xr211km2,x2l,3l.xlx

1M41Wkm2dxkm2ln.2lxlx3 所以

3l例26.设有一长为l的均匀细棒,线密度为,求细棒对位于其一端垂直上方、距离为a、质量为m的质点的引

力.

解:建立坐标系.在细棒x处任取一小段x,xdx,则该小段的质量为dx.于是对质点的引力微元的大小为

dFkmdxa2x2.

它的两个分量分别为

mdxxmdxa.,dFk.ya2x2a2x2a2x2a2x2

dFxk因此整个细棒的对质点m的引力的两个分量为

Fxk0lmxa2x32211dxkma2l2a;

Fyk0lmaa2x322dxkmlaal22.

(五)函数平均值

在实际问题中,常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌.然而,有时还需要考虑一个连续函数

fx在a,b上所取得的一切值的平均值.例如,求气温在一昼夜间的平均温度.下面就讨论如何规定及计算连续函

数fx在a,b上的平均值.

1.先把a,b分成n等份,设分点为ax0x1ba.i1,2,nxn1xnb.

每个小区间的长度为

xi,n

2,设在分点处的fx的函数值依次为y0,y1,,yn1的平均值

y0y1yn1n

来近似表达函数fx在a,b上所取得的一切值的平均值.

显然,如果n比较大,上述平均值就能比较确切地表达fx在a,b上所取得的一切值的平均值.为此,称

y0y1yn1n

ylimn为函数在a,b上的平均值.

y0y1yn1yyyn1balim01.nnban

3. 现在

ylimnn11blimfxi1.xifxdx.anbabai1

这就是说连续函数fx在a,b上的平均值y,等于函数fx在a,b上的定积分除以区间的长度ba,定积分中值定理中的f就是fx在a,b上的平均值.

例27.计算纯电阻电路中正弦交流电iImsint在一个周期上的功率的平均值(简称平均功率).

解:设电路的电阻为R,那么这电路中电压

uiRImRsint,

而功率

puiIm2rsin2t.20,因此在长度为一个周期上的平均值为

1p220Im2RImUmImRsintdt2222

这就是说,纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的一半.

(六)均方根

非恒定电流(如正弦交流电)是随时间的变化而变化的,那么为什么一般使用的非恒定电流的电器上却标明着确定的电流值?原来这些电器上标明的电流值都是一种特定的平均值,习惯上称为有效值.

周期性非恒定电流(如正弦交流电)的有效值规定如下:

当it在它的一个周期T内在负载电阻R上消耗的平均功率等于固定值I的恒定电流在R上消耗的功率时,称这个I值为it的有效值.

2固定值I的恒定电流在R上消耗的功率为IR;

非恒定电流

it在R上消耗的功率为

utiti2tR,它在0,T上的平均值为

1T2RT2itRdtitdt,00TT

从而

RT21T22itdtIitdt,T0T0故

I2RI1TT0i2tdt 特别地,对于正弦交流电itImsint,有效值为

I1220Im2sin2tdtIm.2

1.itImsint这就是说,正弦交流电的有效值是它峰值的2

1b2fxdx.a注意:我们把ba称作fx在a,b上的均方根.