CE-Bezier曲面光滑拼接的研究与实现

２０１２年　１０月　第３３卷第５期　图学学报　ＪｏＵＲＮＡＬ　ｏＦ　ＧＲＡＰＨＩＣＳ　Ｏｃｔｏｂｅｒ　２０ｌ２　、，０ｌ－３３　Ｎｏ．５　ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ曲面光滑拼接的研究与实现　胡　钢　２，吉晓民２，沈晓芹　，宋伟杰　（１．西安理工大学理学院，陕西西安７１００５４；２．西安理工大学机械与精密仪器工程学院，陕西西安７１００４８；　３．西北工业大学理学院，陕西西安７１００７２）　摘　要：针对ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ曲面造型中复杂曲面难以用单一曲面来表示的问题，通过　分析ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ曲线的唯一性，提出了一种新的ＣＥ—Ｂｒｚｉｅｒ曲面的光滑拼接技术。首先，在　分析第ｌ类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线基函数及其端点性质的基础上，对第１类ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ曲线的唯一　性进行了研究，得出了对于同一条第ｌ类ＣＥ—Ｂｒｚｉｅｒ曲线可以有很多组不相同的控制顶点和　形状参数与之对应的结论；其次，利用该结论进一步给出了两相邻第１类ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ曲面片　间Ｇ　光滑拼接的一般几何条件，并通过合理地选取形状参数，进一步简化了该曲面的Ｇ　拼接条件；最后，给出了第１类ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲面光滑拼接的几何造型实例。实例结果表明，　该方法简单、直观、易实现，有效地增强了ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ方法表达复杂曲线曲面的能力，可广　泛地应用于工程复杂曲面的造型系统中。　关键词：ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线；ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ曲面；形状参数；光滑拼接；唯一性分析　文章编号：２０９５—３０２Ｘ（２０１２）０５．００６２．０６　中图分类号：ＴＰ　３９１．４　文献标识码：Ａ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　Ｈｕ　Ｇａｎｇ　，－，Ｊｉ　Ｘｉａｏｍｉｎ２，Ｓｈｅｎ　Ｘｉａｏｑｉｎ　，Ｓｏｎｇ　Ｗｅｉｊｉｅ。　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｌｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　０ｆＴｅｃｈｎ０１ｏ　Ｘｉ’１１１１　Ｓｈａａｎｘｉ　７１００５４，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ’ｍ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ　ｔｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇＹ，Ｘｉ’ｎ　ａＳｈａａ　ｉ　７１００４８，Ｃｈｉｎａ；　３．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ｎ　Ｓｈａａｎｘｉａ　７１００７２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｃｕｓｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅｎｇｉｎｅｅｆｉｎｇ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　Ｃａｌｌ　ｎｏｔ　ｂｅ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ａ　ｓｉｎｇｌｅ　ｃｕｂｉｃ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　Ｂ６ｚｉｅｒ（ＣＥ．Ｂｒｚｉｅｒ）ｓｕｒｆａｃｅｓ　ｗｉｔｈ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｓｈａｐｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．ｔｈｅ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　Ｏｆ　ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　ａｒｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｔｈｅ　ｎａｌａｙｓｉｓ　ｏｆ　ｂａｓｉｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｅｒｍｉｎａｌ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ　ｃｕｒｖｅｓ　ｉｓ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｎｄ　ａｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｔｈａｔ　ａ　ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ　ｃｕｒｖｅ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｂｙ　ｍａｎｙ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐｏｉｎｔｓ　ａｎｄ　ｓｈａｐｅ　ｐａｒａｒｎｅｔｅｒｓ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｎｄ　ｔｈｅｎ．ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｇ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｗｏ　ａｄｊａｃｅｎｔ　ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　ｉｎ　Ｕ　ａｎｄ　Ｖ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ａｎｄ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ　ｂｙ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｐｒｏｐｅｒｌｙ．Ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｉｌｌｕｓ仃ａｔｅ　ｔｈａｔ　ｈｅ　ｔｃｏｎｔｉｎｕｉｙ　ｃｏｎｄｉｔｔｉｏｎ　ｏｆ　ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　Ｃａｌｌ　ｂｅ　ｗｉｄｅｌｙ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｒｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＣＥ・－Ｂｒｚｉｅｒ　ｃｕｒｖｅ；ＣＥ・－Ｂｄｚｉｅｒ　ｓｕｒｆａｃｅ；ｓｈａｐｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ｃｏｎｔｎｕｉｉｙ　ｃｏｎｄｉｔｔｉｏｎ；　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｕｎｉｑｕｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　收稿日期：２０１０—０８—１５：定稿日期：２０１１－０１－０６　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０９２６１５２，１１１０１３３０）；陕西省自然科学基金资助项目（２０１１ＪＭ１００６）；陕西省教育厅基金资　助项目（１１ＪＫ１０５２）；徐州工程学院青年教师基金资助项目（ＸＫＹ２００７３１９）　作者简介：胡钢（１９７９一），男，江西高安人，讲师，博士研究生，主要研究方向为计算机辅助几何设计与图形学、图像处理。　Ｅ・ｍａｉｌ：ｈｕｈｕｉｘａｕｏｔ＠１６３．ｃｏｒｎ　第５期　胡钢等：ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲面光滑拼接的研究与实现　随着几何造型工业的快速发展，传统Ｂ６ｚｉｅｒ　和有理Ｂ６ｚｉｅｒ方法已难以满足曲线曲面几何造　型中的各种需求【ｌ】。为了保留原有Ｂ６ｚｉｅｒ方法的　优点，同时增加曲线曲面的形状可调性和逼近　性，人们提出了一些推广的带形状参数的Ｂ６ｚｉｅｒ　曲线曲面，如Ｃ－Ｂ６ｚｉｅｒｔ引、ｑ－Ｂ６ｚｉｅｒ【引、Ｔ—Ｂ６ｚｉｅｒ［４。、　带单参数的Ｂ６ｚｉｅｒ［引、拟三次Ｂ６ｚｉｅｒ［６Ｊ、Ｈ．Ｂ６ｚｉｅｒ［　】　以及ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线曲面［８１等。其中，ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ　曲线曲面不仅是文献［５—６】中曲线曲面的进一步　推广，而且具有类似Ｂ６ｚｉｅｒ曲线曲面的端点性　质、凸包性、变差缩减性以及仿射不变性等诸多　几何性质，其形状可调性也要优于其他曲线曲　面【２　】。此外，由于它是代数多项式曲线曲面，所　以其实际计算复杂度要远低于非代数多项式曲　线曲面，如Ｃ．Ｂ６ｚｉｅｒ、Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ及Ｈ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线　曲面等。　为了进一步增强ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线曲面表达复　杂曲线曲面的造型能力，文献［９］研究了第１类　ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线曲面的光滑拼接问题，但所得的　曲面拼接条件不仅复杂、含有基函数、几何意义　也不明确，而且还无法应用于实际复杂曲面的构　造。为此，本文从第１类ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线自身性　质出发，分析了该曲线的唯一性，并利用所得结　论给出了第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲面光滑拼接的一般　条件。所得条件不仅几何意义明显、结构简单、　便于实际操作，而且为第１类ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲面连　续阶的判断、光滑拼接曲面的构造以及计算机的　实现都带来了很大的方便。　１　第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的定义　定义１给定４个控制顶点　∈Ｒ　＝２，３；　ｉ＝０，１，２，３），对ｔ∈［Ｏ，１］定义曲线　Ｐ（ｔ；　，　）＝∑　（ｔ）　（１）　ｆ＝０　称式（１）所定义的三次多项式曲线为带形状参　数ＯＩ，　的第１类三次扩展Ｂ６ｚｉｅｒ曲线，简称第１　类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线【８］。式中，三次多项式基函数　ｂｆＩ３（ｆ）（ｆ＝０，１，２，３）定义如下　６ｂ．３（　）＝（１－ａｔ）（１－ｔ）　ｂｌ，３（　）＝（２＋ａ）ｔＯ—　）　（２）　．３（ｆ）＝（２＋　）ｔ２（１－０　（ｆ）＝（１一ｙ＋ｙｔ）ｔ。　．３式中，　，　∈【－２，１】。显然，当　＝　＝１时，曲　线式（１）便退化为传统三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线。由式　（１）不难推出第１类ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线具有对称　性、凸包性、几何不变性、仿射不变性以及如下　端点性质：　Ｉ　Ｐ（Ｏ；　，　）＝ｅｏ；Ｐ（１；　，　）＝　｛Ｐ　（０；　，　）＝（２＋　）（　一　）　（３）　【Ｐ　（１；　，　）＝（２＋　）（　一　）　２第１类ＣＥ　Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的唯一性　分析　对于传统三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线，若给定４个具体　的控制顶点，则有唯一的一条三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线与　之对应；反之，对于一条具体的三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线　同样有唯一的４个控制顶点与之对应。那么，此　结论对于第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线是否同样成立　呢？下面给出具体的分析，不妨设Ｐ（ｔ；　，　）和　Ｑ（ｆ；　，　）为由式（１）所定义的两条第１类　ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线，其控制顶点分别为　，　，　，　和Ｑ。，Ｑ　，Ｑ　，Ｑ　。　定理１　两条曲线Ｐ（ｔ；　１，　１）和Ｑ（ｔ；ａｔ２，　）表示同一条多项式曲线的充分必要条件是它　们的控制顶点和形状参数满足如下条件　Ｉ　Ｑ０＝１＇ｏ；Ｑ　＝　｛Ｑ１＝［（２＋　１）　＋（　２一　１）Ｐ０】／（２＋　２）　（４）　【Ｑ：＝［（２＋　）Ｐ２＋（　２一　）ｅ３］／（２＋　２）　同时成立。　证明若两条ＣＥ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线Ｐ（ｔ；　，　）　和Ｑ（　；　２，Ｙ２）表示同一条多项式曲线，即　土　（　；　１，　１）＝Ｐ（ｆ；　ｌ，　１）　０　（５）　三　＝Ｑ（ｔ；ａ２，　２）＝　Ｑｆｂｉ，３（ｆ；　２，　２）　ｉ＝０　根据曲线的端点性质和对比式（５）中两边多项　式曲线的各幂项系数，稍加整理即可将式（５）　等价为　Ｉ　＝Ｐｏ；Ｑ３：　ｌ２ｅ，＋　（　一ｅｏ）＝２Ｑ１＋　（Ｑｌ一　）；　Ｉ＿４　＋２　＋２ｏｑ（Ｐｏ一　）＋ｒｌ（　一　）　ｒ　ｌ＝一４Ｑｌ＋２Ｑ２＋２ａｚ（Ｑｏ—　）＋　（Ｑ２一Ｑ３）；　ｌ２（ｇ一　）＋ａｌ（ｅｌ—ｅｏ）＋　（　一　）　【＝２（　—Ｑ２）＋　（Ｑｌ—Ｑｏ）＋　（Ｑ３一Ｑ２）　最后将式（６）中前３个等式分别代入第４、５个　图学学报　２０１２年　等式中，稍加整理即可得式（４）成立。　证毕。　定理１表明，对于一条具体的第１类　ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线，则可以有很多组不相同的控制　顶点和形状参数与之对应，即在不改变第１类　ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线形状的情况下，可以按式（４）中　要保持第１类ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的形状和位置不变，　则须满足：　１）Ｐｏ，Ｐ３位置固定不变；　２）当　增大（或减小）时，点　应按直　线Ｐｎ　的方向靠近（或远离）点　，且具体偏　移位置可由式（４）中的第３个等式计算出；　的条件来修改该曲线的控制顶点和形状参数。　图１给出了不同控制顶点和形状参数表示同　一３）当，，增大（或减小）时，点　应按直线　只只的方向靠近（或远离）点　，且具体偏移位　置可由式（４）中的第４个等式计算出。　条第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的实例。其中，第１　类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的初始控制顶点　，Ｐ１，Ｐ２，　坐标取为（０，０）、（０＿３，Ｏ．７）、（０．８，Ｏ．８）和（１，０），且原　始形状参数Ｏｆ和　都取值为０。如图１所示，若　（ａ）口增大为０．５，ｙ增大为０．５；　Ｐｌ坐标改变为（Ｏ．２４００，０．５６００）；　坐标改变为（０．８４００，０．６４００）　（ｂ）　减小为一０．３，ｙ减小为一０．３；　Ｐ１坐标改变为（０．３５２９，０．８２３５）；　坐标改变为（０．７６４７，０．９４１２）　（ｃ）　减小为．０．３，ｙ增大为Ｏ．５；　（ｄ）　口增大为０．５，ｙ减小为一０－３；　Ｐ１坐标改变为（０．３５２９，０．８２３５）；坐标改变为（０．８４００，０．６４００）　Ｐｌ坐标改变为（０．２４００，０．５６００）；　坐标改变为（０．７６４７，０．９４１２）　图１　不同控制顶点和形状参数表示同一条ＣＥ．Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线的实例　３第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲面的光滑拼　接　３．１第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲面的定义　定义２若给定４￣４个控制网格顶点　，，（ｉ，　、　Ｊ　ｅ（ｕ，　＝∑∑　，岛，　；　，　，（Ｖ；　ｉ－０　ｊ－－０　＼　／　ＩＯ≤Ｕ，Ｖ≤１　称为【０，１］×［０，１］上的第１类ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲面［　。式　中，－２≤Ｏｆ，　，　，０９≤１，ｂｆ．３（Ｕ），ｂ『．３（１，）为式（２）　所定义的基函数。显然当所有参数都为ｌ时，第　１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲面便退化为传统的双三次Ｂ６ｚｉｅｒ　ｊ＝ｏ，１，２，３），将与第１类ＣＥ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线对应的张　量积曲面　第５期　胡钢等：ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲面光滑拼接的研究与实现　・６５　曲面，且可灵活地改变形状参数来调整曲面的形　状。　３．２第１类ＣＥ．Ｂ６￣ｅｒ曲面的Ｇ‘光滑拼接　在实际应用中，曲面间通常要达到Ｇ　连续，　即２张曲面在公共连接线处有公共的切平面或公　共的曲面法线［１０－１２】。设有２张第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ　曲面Ｐ（ｕ，ｖ；ａｌ，　，　，ＣＯ１）和Ｑ　ｖ；ｃｔ　２，　，　，ｏ，９，　其控制网格顶点分别为　ｆ，，和垡¨（ｆ，Ｊ＝０，　１，２，３），由于ＣＥ—Ｂ６ｚｉｅｒ曲面存在方向性，所以　２张曲面片间的拼接存在以下３种形式：　１）Ｕ向与Ｕ向拼接；　２）Ｕ向与１，向拼接；　３）ｖ向与ｖ向拼接。　定理２若两相邻曲线片ｅ（ｕ，１，；　，　，／３１，　）和Ｑ（ｕ，１，；　，　，　，　）满足如下条件　ｑｏ，ｏ　，ｑ３，０　，３　研，ｏ＝［（２＋　，３＋（　一　）　３］／（２＋　）　ｑ２，０＝［（２＋　３＋　一　，３１／（２＋ｙ２）　１一ｑｏ，０＝　’　３ｌ　２）　ｌ一　０＝　。　３－－　２，，）　，１一绣，０＝　・［（２＋　，３一Ａ，２）＋（　一　）　（８）　・　ｈ３一　２）］／（２＋　）　１一　，，０＝　［（２＋　Ｘ　３一既２）＋　一　）　・（　＇３一　，２）］／（２＋　）　其中，　：　兰±　厂・（２＋　）　同时成立，则两曲面片Ｐ（ｕ，Ｖ）和Ｑ（ｕ，ｖ）在公共　边界处达到Ｕ向与Ｕ向Ｇ　光滑拼接。　证明２张曲面片要达到Ｕ向与Ｕ向Ｇ　连　续，首先要求它们在Ｕ向处有一公共边界，即　Ｐ（ｕ，１；ａ１，Ｙｌ，　，　）＝Ｑ（ｕ，Ｏ；　２，Ｙ２　，　）　由曲面的定义可将上式化简为　３　３　∑　，３（ｕ；ｏｔＩ，Ｙ１）Ｐｉ，３＝∑ｈｉ，３（　；　，Ｙ２）ｑｆ，０（９）　ｉ＝０　ｉ＝０　再根据定理１中的结论，可将式（９）进一步整　理为　ｒ　Ｉ　，０　，３；ｑ３，０　Ｐ３，３　｛ｑｘ，ｏ＝［（２＋　）Ａ，３＋（　一ａ￣）Ｐｏ，３１／（２＋ａ２）（１０）　Ｉ　，ｏ＝［（２＋ｔＯＰ２，３＋（　一ｒ０Ｐ３，３］／（２＋７／２）　其次，要求２张第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲面片在　拼接边界处有公共的切平面，即两曲面片在边界　上的法矢方向是连续的。所以，数学上应满　足［１０－１２】　导Ｐ　，１；　，　，届，ｑ）×　ＰＵＵ　　，１；　，Ｙｌ，层，ｑ）＝厂　Ｑ　，ｏ；　，　，　，　）×　Ｑ　，０；ａ　，　，　，ＣＯ　）　ＵＵ　且实际应用中常采用Ｆａｕｘ方法㈣可将上式简化　为　ＯＰ（　，１；　ｌ，　ｌ，屈，０３１）　Ｖ　（１１）　＝厂・÷Ｑ（ｕ，ｏ；　２，　２，　，０９２）　ｃ，　式中，厂为大于０的实常数。式（１１）的几何意　义为两曲面拼接时跨界切矢的方向是连续的。计　算曲面片的跨界切矢，并代入式（１１）得　３　（２＋　）∑６＝ｆ，　（Ｕ；ａｌ，　）（　，，一　，：）　（１２）　：ｆ（２＋ｆ１２）￣－＇２ｂ；，（“；　，　）（　，。－ｑｉ，ｏ）　ｉ＝Ｏ　再利用定理１中的结论，可将式（１２）进一步整　理为　Ｉ　ｖ，１．－一ｑｏｖ，。＝　ｎｖ　’　／ｆ＂　３一　２）　。一　，一　，，，，：）　ｊｑｌ，１－ｑｌ，。　‘［（２＋　）　厂　，２）＋（　一　）（１３）　ｌ　・（　３一　２）］／（２＋　）　ｌ　ｌ一　，０＝　’［（２＋　）　，３一　，２）＋　一　）　Ｉ　・　，３一Ｐ３，２）］／（２＋　）　式中：　：　兰±　！　。　・（２＋　）　综上所述，式（１０）和式（１３）便构成了２　张第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲面片Ｕ向与Ｕ向Ｇ　光滑拼　接的一般条件，从而定理２得证。此外，若令　ａｌ＝ａ２，　＝　，　＝　，则式（１０）和式（１３）　可进一步简化为　ｌ＝　２，　ｌ＝　２，　＝　；　Ｐｆ，３＝垡ｆ，０，（ｉ＝０，１，２，３）；　（１４）　Ｐ　，３一Ｐ　，２＝ｆ‘（ｇｆ，１一口ｆ，ｏ）（ｉ＝０，１，２，３）　因此，式（１４）便构成了２张第１类ＣＥ．Ｂ６ｚｉｅｒ　曲面片Ｕ向与Ｕ向Ｇ　光滑拼接的一个简洁充分　条件，　其几何意义为：　若满足　ｌ＝　２，　＝７＂２，ｑ＝　，则Ｇ　连续的２张曲　面片具有相同的４个控制顶点，且　ｆ．２，ＰｆＩ３（＝ｑｉ，ｏ），ｇｆ．１共线并有序排列。与Ｕ向与