广西南宁二中、柳州高中2018届高三9月份两校联考数学

2018届南宁二中、柳州高中两校联考第一次考试

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A{x|x23x20}，B{x|12x4}，则AB（ ） A．{x|1x2} B．{x|1x2} C．{x|1x2} D．{x|0x2} 2．复数z2i对应的点在复平面内位于（ ） 1iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“真人秀”热潮在我国愈演愈烈，为了了解学生是否喜欢某“真人秀”节目，某中学随机调查了110名学生，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 20 60 2女 20 30 50 总计 60 50 110 2nadbc110403020202由K算得K27.8．

60506050abcdacbd附表：

PK2k k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关” C．有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关” D．有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”

4．设等差数列an的前n项和为Sn，已知a1a2a3a4a5，S560，则a10（ ）

A．16 B．20 C．24 D．26

5．已知点A2,3在抛物线C:y22px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ） A．431 B．-1 C．  D． 34256．2x12x展开式中，x项的系数为（ ）

2A．30 B．70 C．90 D．-150 7．已知函数fx2sin(2x6)，若将它的图象向右平移

个单位长度，得到函数gx6的图象，则函数gx图象的一条对称轴方程为（ ） A．x12 B．x4 C． x3 D．x2 3，则xy8．在ABC中，点M,N满足AM2MC，BNNC，若MNxAByAC的值为（ ） A．

1123 B． C． D． 32349．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nnmodm，例如112mod3，现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）

A．21 B．22 C．23 D．24

10．某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为23的正三角形，该几何

体的外接球的表面积为（ ）

A．9 B．16 C． 24 D．36

x2y211．已知F1,F2为双曲线C:221a0,b0的左，右焦点，点P为双曲线C右支

ab上一点，直线PF1与圆xya相切，且|PF2||F则双曲线C的离心率为（ ） 1F2|，

222A．

4510 B． C． D．2

33312．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx1ex，则对任意的

mR，函数Fxf(f(x)m的零点个数至多有（ ）

A．3个 B．4个 C． 6个 D．9个

第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

x2y013．若变量x,y满足约束条件xy0，则z2xy的最小值等于 ．

x2y2014．如图所示，在直角梯形ABCD中，BCDC,AEDC,M,N分别是AD,BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是 （填上所有正确的序号）．

①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置都有MNAE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB．

2x4xx015．已知函数fx，若关于x的不等式|fx|ax恒成立，则a的lnx1x0取值范围是 ．

16．已知数列an中，a11，an的前n项和为Sn，当n2时，有则S2017 ．

2an1成立，2anSnSn三、解答题 （共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知3a2csinA且cb． （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若b4，延长AB至D，使BCBD，且AD5，求ACD的面积． 18．某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天，两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家10天的试销情况茎叶图如下：

（Ⅰ）现从厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率； （Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：

（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；

（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场做出选择，并说明理由．

D19．已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1A1底面ABC，12，侧面ABB是BC的中点，B1BA60,B1DAB．

（Ⅰ）求证：AC平面ABB1A1； （Ⅱ）求二面角C1ADC的余弦值．

x2y220．已知椭圆C:221(ab0)的右焦点F1,0，过点F且坐标轴不垂直的直线

ab与椭圆交于P,Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点Tt,0，使得QPTPPQTQ?若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由． 21．已知fxexax2，gx是fx的导函数． （Ⅰ）求gx的极值；

（Ⅱ）若fxx1在x0时恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

x22cos在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y2sin（为参数）．以原点O为极

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin． （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为0,R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A,B均异于原点O，且|AB|42，求实数的值． 23．选修4-5：不等式选讲

已知函数fx|2x3||2x1|． （Ⅰ）求不等式fx5的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式fx|m1|的解集非空，求实数m的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5: CDCDC 6-10: BCACB 11、12：CA

二、填空题

13．51 14．①② 15．4a0 16． 21009abc， sinAsinBsinC三、解答题

17．【解析】（Ⅰ）由正弦定理

得：3sinA2sinCsinA，

∵sinA0，∴sinC又cb，∴C3， 23．

（Ⅱ）设BCx，则AB5x，在ABC中，由余弦定理得

3337求得x，即BC,AB，

222BCAB在ABC中，由正弦定理得， sinAsinC∴sinA5x2x2422x4cos，

BCsinC33， AB1411331537ACADsinA45． 22147∴ACD的面积S18．【解析】（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，

2C21则PA2．

C1045（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则当a38时，X384152； 当a39时，X394156；当a40时，X404160；

当a41时，X40416166；当a42时，X40426172； ∴X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，

∴X的分布列为

X 152 156 160 166 172 1112 5510511121156160166172162． ∴EX1521055510p （ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：

1 10380.2390.4400.2410.1420.139.5，

∴甲厂家的日平均返利额为：7039.52149元， 由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（149元）， ∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．

19．【解析】（Ⅰ）取AB中点O，连接OD,B1O，

B1BA中，AB2,B1B2,B1BA60，故AB1B是等边三角形，∴B1OAB，

又B1DAB，而B1O与B1D相交于B1，∴AB平面B1OD， 故ABOD，又OD∥AC，所以ACAB，

又∵侧面ABB1A1底面ABC于AB，AC在底面ABC内，∴AC平面ABB1A1． （Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

C1,2,0,A1,0,0,D0,1,0,B1,0,0,B10,0,3，

∴BB11,0,3,AC0,2,0，

AC1ACCC1ACBB11,2,3，AD1,1,0，

设平面ADC1的法向量为mx,y,z，



mADxy0依题意有：，

mAC1x2y3z0令x1，则y1,z3，∴m1,1,3， 又平面ADC的法向量为n0,0,1， ∴cosm,n15315，∴二面角C1ADC的余弦值为． 5511320．【解析】（Ⅰ）由题意知c1， 又

btan603，所以b23，a2b2c24， cx2y21． 所以椭圆C的方程为：43（Ⅱ）设直线PQ的方程为：ykx1,k0，

x2y21，得：34k2x28k2x4k2120， 代入43设Px1,y1,Qx2,y2，线段PQ的中点为Rx0,y0，

8k2则x1x2， 234k3kx1x24k2ykx1x0，， 0034k2234k2由QPTPPQTQ得：PQ(TQTP)PQ(2TR)0， 所以直线TR为直线PQ的垂直平分线，

3k14k2(x)． 直线TR的方程为：y34k2k34k2k21令y0得：T点的横坐标t， 334k242kk20,，所以

3144,t(0,)． ，所以k2414所以线段OF上存在点Tt,0，使得QPTPPQTQ，其中t(0,)．

21．【解析】（Ⅰ）fxexax2，gxfxex2ax，gxex2a， 当a0时，gx0恒成立，gx无极值； 当a0时，gx0，解得xln2a，

由gx0，得xln2a；由gx0，得xln2a， 所以当xln2a时，有极小值2a2aln2a．

（Ⅱ）令hxexax2x1x0，则hxex12axx0，注意到

h0h00，

解法一：hxex2ax0， ①当a1时，由x0，得hxex2a0，即hx在[0,)上单调递增， 2所以x0时，hxh00，从而hx在[0,)上单调递增， 所以x0时，hxh00，即fxx1恒成立． ②当a递减，

所以0xln2a时，hxh00，从而hx在[0,ln(2a))上单调递减， 所以0xln2a时，hxh00，即fxx1不成立． 综上，a的取值范围为(,]．

xx解法二：令kxe1x，则kxe1，由kx0，得x0；kx0，得

1时，由hxex2a0解得0xln2a，即hx在[0,ln(2a))上单调212x0，

∴kxk00，即e1x恒成立，

x故hxx2ax(12a)x， 当a1时，12a0，于是x0时，hx0，hx在[0,)上单调递增， 2所以hxh00，即fxx1成立．

当a1时，由ex1xx0可得ex1xx0． 2h(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，

故当x(0,ln(2a))时，hx0，

于是当x(0,ln(2a))时，hx单调递减，hxh00， fxx1不成立． 综上，a的取值范围为(,]．

1222．【解析】（Ⅰ）由x22cos22消去参数可得C1普通方程为x2y4，

y2sinx2y22∵4sin，∴4sin，由，

ysin2得曲线C2的直角坐标方程为x(y2)4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C1:(x2)2y24，其极坐标方程为4cos， 由题意设A(1,),B(2,)，则|AB||12|4|sincos|

2242|sin()42，

4∴sin(∴4)1，

k(kZ)，∵0，∴3． 44223．【解析】（Ⅰ）原不等式为：|2x3||2x1|5， 能正确分成以下三类：

373时，原不等式可转化为4x25，即x； 2423131当x时，原不等式可转化为45恒成立，所以x；

2222113当x时，原不等式可转化为4x25，即x．

22473所以原不等式的解集为{x|x}．

44当x

34x2,x231（Ⅱ）由已知函数f(x)4,x，可得函数yfx的最小值为4，

2214x2,x2由fx|m1|的解集非空得：|m1|4． 解得m5或m3．