11沪教版-初三数学-中考总复习(二次函数)

教师姓名 学

数学 学生姓名 课题名称 年级 初三 上课时间 科 中考总复习之二次函数 待提升的知识点/题型 考点提炼 （一）二次函数 形如yaxbxc(其中a0，a、b、c是常数)的式子，称y是x的二次函数. 1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①yaxya(x0)0； ②yaxkya(x0)k； 2 ③yaxhya(xh)0； 222222 ④yaxhk(其中a,h,k是常数，且a0) 2、抛物线yaxhk(其中a,h,k是常数，且a0)的对称轴是过点( h，0)且平行(或重合)于y轴的直线，即直线xh，顶点坐标是(h，k),当a0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 22b4acb23、一般二次函数yaxbxc用配方法可化成：yax的形式 2a4a224acb2bb，对称轴：直线x 顶点坐标：（- ，） ,当a0时，抛物线开口向上，4a2a2a顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 4、求二次函数的解析式一般方法 2 （1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2，其中：x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标（一元二次方程ax2bxc0的两根） 25、抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用

2 （1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样. ｜a｜越大,开口越小。 2 （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线bb，故：① b0时，对称轴为y轴；② 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左a2ab侧；③ 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. （左同右异） ax2 （3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置. 2 当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 6、抛物线与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点为(0, c).令x0,yc 2（2）与x轴的交点： 二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，2是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交； ②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. b4acb2（，）7、抛物线的顶点位置： 顶点坐标为 2a4a 若顶点在x轴上解析式形式：yaxh 2 若顶点在y轴上解析式形式：yaxk 8、图像的平移： 2 一般做图像的平移时，使用顶点式ya(xh)k(a0)，左加右减，上加下减 2 / 22

2

向左平移m个单位则ya(xhm)k(a0)， 向右平移m个单位则ya(xhm)k(a0)； 向上平移n个单位则ya(xh)kn(a0)， 向下平移n个单位则ya(xh)kn(a0) 9、二次函数图像的对称性与增减性： 2222

（1）同一个抛物线图像上所有的点（顶点除外）都有关于对称轴对称的点 （2）同一个抛物线图像上点A(x1,y0)与B(x2,yo)一定是对称点，并且可以由此求出对称轴为直线xx1x2 2（3）如果抛物线的对称轴为直线xm，那么到这条直线的距离相等的不同点是关于对称轴对称的。举例：比如xAm1与xBm1这两个点的横坐标到对称轴的距离为1，那么他们的纵坐标相同 （4）总而言之，若抛物线上两点满足对称性，则有xAxBb，yAyB，反之亦然 22a

方法点睛 （一）数形结合思想

抛物线的内在联系，二次函由于二次函数（数）的图像是抛物线（形），故有二次函数数形数的性质由图像反映出来，反之抛物线刻画二次函数的性质，能直观、形象地反应问题，因此数形结合思想有着广泛的应用。 （二）分类讨论思想 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类，必须是周全的，既不重复，也不遗漏。 （三）转化（或化归）思想 转化思想：就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题。将四边形问题化为三角形问题等。 （四）函数及方程思想 在实际中，根据已知条件、公式和定理，建立函数或方程等数学模型，再根据它们的性质或图像解决问题，就是函数和方程思想。 （五）二次函数的增减性在对称轴两边发生变化，如果所给点在对称轴同侧，则可由增减性直接判断，若所给点在对称轴两侧，则可用对称轴x同侧. x1x2来进行转化，从而是所有点都在对称轴2 4 / 22

限时训练 1．函数y2x1的图像不经过（ ） （A） 第一象限； （B） 第二象限； （C） 第三象限； （D） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ） （A） 2a3a6a； （B）x8x2x4； （C） a12

1a； （D）(a2)31． 6a3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ） （A）4； （B）2x； （C）2； （D）12． 94．已知一组数据2、x、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ） （A） 3.5； （B） 4； （C） 2； （D）6.5． 5．已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点， 那么d的值可以取（ ） （A） 11； （B） 6； （C） 3； （D）2． 6．已知在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD， 下列四个命题中真命题是（ ） （A） 若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形； （B） 若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形； （C） 若AOCO，则四边形ABCD一定是矩形； OBOD（D） 若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 7． 计算：sin30(3) ． 8． 方程x0x6的解是 ．

x309． 不等式组x的解集是 ． 3(1)1210．已知反比例函数y

k的图像经过点（-2017，2018），当x0时，函数值y随 x自变量x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 11．若关于x的方程x3xm0有两个相等的实数根，则m的值是 ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张， 抽到中心对称图形的概率是 ． 13．抛物线ymx2mx5的对称轴是直线 ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出 频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ． 15．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点， BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC的度数为 ． B16．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD25， CE22第14题图 AFD第15题图 AB若ADa，DCb，用a、b表示DB ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半， 那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边AB5，则它的周长等于 ． 三、解答题（本大题共7题, 满分78分） 【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分） DC第16题图 1x3x24x3先化简，再求值：，其中xx1x21x22x11．B； 2．D； 3．C； 4．A； 5．D； 6．C． 7．121． 133； 8．x2； 9．x3； 10．增大； 11．m； 12．； 245 6 / 22

51113．x1；14．0.7；15．140； 16．ba； 17．535或552； 18．． 22

20．（本题满分10分） x25xy6y20 ， 　①解方程组： ． 　　　 ②2xy1 19、原式=222= ==1 (x1)2(211)2(2)26x11320、所以原方程组的解是 ， 1y11321、AB13k13 CF64cotDCB 15DF52 x21 . （2分） y1221．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，BC=24， sinABC5． 13DA（1）求AB的长； （2）若AD=6.5，求DCB的余切值．

BC第21题图

22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y关于x的函数解析式； （2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票 所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元， 且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？

第22题图 答：门票价格应该定为70元. （1分） 所以y关于x的解析式为：yx300 （1分）

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考点精析 考点典例一、二次函数的图象 2【例1】已知函数yax2ax1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是 A. 当a1时，函数图象过点（-1，1） B. 当a2时，函数图象与x轴没有交点 C. 若a0，则当x1时，y随x的增大而减小 D. 若a0，则当x1时，y随x的增大而增大 【答案】D. 考点:二次函数的性质. 【点睛】根据二次函数的性质解决即可． 【举一反三】 12y=-x+x-4,下列说法正确的是（ ） 对于二次函数4A、当x>0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值－3 C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与x轴有两个交点 【答案】B. 【解析】 试题分析：二次函数y=-121x+x-4=-(x-2)2-3,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随44x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B. 考点：二次函数的性质.

考点典例二、二次函数的解析式 【例2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）

A．y=x2﹣x﹣2 【答案】A． 【点晴】先根据A在反比例函数图象上，求出m的值，再把A、B点坐标代入二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值即可. 【举一反三】 写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上： ． 【答案】yx（答案不唯一）． 【解析】 试题分析：由题意可得：yx（答案不唯一）．故答案为：yx（答案不唯一，只要222 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2 yax2bxc中a≠0，b=0即可）． 考点：二次函数的性质；开放型． 考点典例三、二次函数的最值 【例3】二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ． 【答案】-4. 【解析】 试题分析：二次函数y=2（x﹣3）﹣4为顶点式，因此最小值为-4. 考点：二次函数极值. 【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（3，-4），即可求出函数的最大值． 2 10 / 22

考点典例四、二次函数的图象与性质 【例4】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（ ）

A．①③ 【答案】D. 【解析】 B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 考点：二次函数图象与系数的关系. 【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案.

【举一反三】 已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc0；②

abc0；③ab；④4acb20.其中，正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 yx=-32Ox（第10题图）第12题图 【答案】C. 考点：抛物线的图象与系数的关系. 考点典例五、二次函数图象与平移变换 【例5】将抛物线y3(x4)2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】y3(x5)1． 【解析】 2 2试题分析：y3(x4)2向右平移1个单位所得直线解析式为：y3(x5)2； 再向下平移3个单位为：y3(x5)1．故答案为：y3(x5)1． 考点：二次函数图象与几何变换． 【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 2222 12 / 22

【举一反三】 在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣1x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得

2到的抛物线的解析式是（ ） A．y=﹣1x2﹣x﹣3 B．y=﹣1x2+x﹣1 C．y=﹣1x2+x﹣3 D．y=﹣1x2﹣x﹣1 22222222【答案】A． 考点：二次函数图象与几何变换． 课堂测评 （2017黄浦二模）1.二次函数yx23图像的顶点坐标是（ B ） A. 2,3 B. 2,3 C. 2,3 22D. 2,3 （2017松江二模）2.对于二次函数yx13，下列说法正确的是（ D ） A. 图像开口方向向下 2 B. 图像与y轴的交点坐标是0,3 D. 抛物线在x1的部分是上升的 C. 图像的顶点坐标为1,3 （2017嘉定二模）3.如果函数yax2x1的图像不经过第四象限，那么实数a的取值范围为（ D ） A. a0 （2017金山二模）4.. 抛物线yx2xa的对称轴是______直线x=1____. （2017宝山二模）5. 二次函数yx2x图像的对称轴是直线______直线x=1_____； （2017青浦二模）6. 抛物线yax2ax3(a0)的对称轴是______直线x=1_____.

22 B. a0 C. a0 D. a0 2

（2017奉贤二模）7.如果抛物线yax3的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是______a>0______ （2017黄浦二模）8.已知二次函数的图像经过点1,3和3,3，则此函数图像的对称轴与x轴的交点坐标是____________(2,0) （2017闵行二模）9.将抛物线yx3x1向下平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为___________y=x2+x-2 （2017虹口二模）10. 如果将抛物线y2x向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是___________；y=2(x-3)2 （2017崇明二模）11. 如果将抛物线y3x5向右平移4个单位后，那么所得新抛物线的顶点坐标是_____________.(4,5) （2017杨浦二模）12.如果将抛物线yx向左平移4个单位，再向下平移2个单位，那么此时抛物线的表达式是 . y=2(x+4)2-2 （2017徐汇二模）13.将抛物线yx22x1向上平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______________(1,2) （2017浦东二模）14.将抛物线yx22x1向上平移4个单位后， 所得新抛物线的顶点坐标是 (-1,2) （2014黄埔二模）15.将抛物线yx2x向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是 . yx2x （静安青浦2014）16.如果抛物线ya(x1)2h经过点A（0，4）、B（2，m），那么m的值是 ． 4 2222

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17、（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题中的①、②各4分） 5如图，抛物线yx2bxc与y轴交于点A(0,1)，过点A的直线与抛物线交于另一点 45（1）求抛物线的表达式； B(3,)，过点B作BCx轴，垂足为C．2

（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N， 设OP的长度为m． ①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度； ②联结CM,BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？ 参考答案 24．解：（1）∵抛物线yy N B M A O P C x （第24题图） 525 xbxc 经过A（0，1）和点B（3，）42c1 ∴55……………………………………………2分 93b142c1∴17 ………………………………………………1分 b45217xx1 ………………………………………1分 441 （2）①由题意可得：直线AB的解析式为yx1………………2分 2 ∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OPm 1 ∴P(m,0)，M(m,m1)， …………………………1分 21 ∴ PMm1 ………………………………………………1分 2∴y

②由题意可得： N(m,

5217mm1)，MN∥BC 445215mm……………1分 44 ∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形 1° 当点P在线段OC上时，MN 又∵BC= ∴5 252155mm 442 解得m11，m22 …………………………………………1分 2° 当点P在线段OC的延长线上时，MN ∴5215mm …1分 4452155mm 442317317（不合题意，舍去）m2 …………1分 22317时，四边形BCMN是平行四边形． 2 解得 m1 综上所述，当m的值为1或2或 16 / 22

中考演练 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A．y3x1 B．yaxbxc C．s2t22t1 D．yx2【答案】C【解析】 试题分析：根据二次函数的定义（形如：yaxbxc(a0)判断即可． A．y3x1是一次函数；B．yaxbxc不一定是几次函数；C．s2t22t1符合二次函数的定义；D．yx2考点：二次函数的定义． 2.在同一坐标系中，一次函数ymxn与二次函数yxm的图象可能是（ ） 222221 x 1不符合二次函数的定义； xA．【答案】D． B． C． D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 3.二次函数yx2x3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）

2

A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．顶点坐标是（1，﹣3） C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0） D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】B． 【解析】 试题分析：A．∵yx2x3，∴x=0时，y=﹣3，∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确； B．∵yx2x3=(x1)4，∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误； C．∵yx2x3，∴y=0时，x22x30，解得x=3或﹣1，∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确； D．∵yx2x3=(x1)4，∴对称轴为直线x=1，又∵a=1＞0，开口向上，∴x＜1时，y随x的增大而减小，∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确； 故选B． 考点：1．二次函数的性质；2．二次函数的图象． 4.抛物线y(x1)2的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 【答案】D． 考点：二次函数的性质． 18 / 22

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5.如图，观察二次函数yaxbxc的图象，下列结论：①abc0，②2ab0，③2

b24ac0，④ac0． 其中正确的是（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】C． 【解析】 试题分析：由图象可知当x=1时，y＜0，∴abc0，故①不正确； 由图象可知0②正确；bb1，∴1，又∵开口向上，∴a＞0，∴b2a，∴2ab0，故2a2a 由图象可知二次函数与x轴有两个交点，∴方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即b24ac0，故③正确； 由图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，∴a＞0，c＜0，∴ac0，故④不正确； 综上可知正确的为②③，故选C． 考点：二次函数图象与系数的关系．

6.某同学在用描点法画二次函数yaxbxc的图象时，列出了下面的表格： 2

x y … … ﹣2 ﹣11 ﹣1 ﹣2 0 1 1 ﹣2 2 ﹣5 … … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ） A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5 【答案】D． 考点：二次函数的图象． 7.把二次函数yx12x化为形如ya(xh)k的形式： ． 2【答案】y=(x6)－36 22【解析】 试题分析：配方时，首先确保二次项系数为1，然后配上一次项系数一半的平方．y=x－12x=x－212x+36－36=(x6)－36． 22考点：二次函数的顶点式． 8.已知二次函数y(x2)3，当x 时，y随x的增大而减小． 【答案】＜2（或x≤2）．【解析】 试题分析：在y(x2)3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2（或x≤2）． 考点：二次函数的性质． 20 / 22

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9.将抛物线y2x1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为 【答案】y2(x1)2． 考点：二次函数图象与平移． 10.（2017年上海市中考第24题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知抛物线yxbxc的对称轴为直线x1，对称轴与x轴交于点C，抛物线经过点A（2，2）. （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）M点在点B上方，设M（1，m），求∠AMB的余切值（用m表示）； （3）将抛物线向下平移，顶点B移至点C，原抛物线上一点P移至点Q，且OP=OQ，求点Q的坐标. 222

解读：2017年同上海历年中考数学24题第（1）、（2）小问一脉相承，考查对坐标系及二次函数性质的理解能力，第（3）小问考查抛物线平移也并不奇怪，从沪教版改版后的初三教材，在抛物线学习中，是以抛物线的平移来逐步深入学习的，所以中考体现这一关系显得重要，也给初三学生学习抛物线指明了一个重要方向：认真领会抛物线移动与系数变化的关系性质。 参考答案： 第（1）小问：用待定系数法解就很方便了；抛物线解析式为：yx2x2，顶点坐标为：B（1,3）； 第（2）小问：考查的是学生通过联系点的坐标意义，用字母表示线段的能力，再多考查了一次三

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角比的意义，考查的很简单；cotAMBm2. 第（3）小问：通过抛物线平移的理解，考查学生动点把握能力及图像的综合分析能力，先通过B至C点的移动，确定移动后的抛物线解析式y(x-1)，根据OP=OQ，且P、Q横坐标相同的关系，分析确定P、Q关于x轴对称，故纵坐标相反，列出方程即可。 设P（x,(x1)3），则Q（x,(x1)）. 222

（x1） 可得(x1)3解得x112266，x21 222-63263，-）或（，-） 2222（所以Q点的坐标为

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