高考圆锥曲线中点弦问题 讲义--高三数学一轮复习

题型识别：弦中点，斜率积用点差

x2y21ab0）若A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆22（上不重合的两点，点M（x0,y0）ab为AB的中点，kAB.kOM的值为定值么？ 答题模版

x2y21ab0）第一步：若A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆22（上不重合的两点，则

abx12y12221ab， 22x2y21a2b2（xx）(xx）(yy2)(y1y2)第二步：两式相减得1221210， 2abyy2xxyy2（x0,y0）第三步：1是直线AB的斜率k，是线段AB的中点，（12,1）x1x222y0y1y2y1y2b2b2化简可得2k2

x1x2x1x2ax0a类型1 求中点弦直线斜率或方程

x2y2142典例1：已知椭圆E：，O为坐标原点，作斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM与AB的夹角为，且tan22，则k（ ） A．22 B．2 C． D．2 22【答案】A

【解析】由题意知k0，设Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，则2x0x1x2，

x12y121422y0y1y2，将A，B两点坐标代入椭圆方程2，两式相减得2x2y2124y01y0y12y22y1y2y1y21k2k，则OM，设直线OM的倾斜

x02k2x1x22x1x2x1x2x0角为，则tanα1，设直线AB的倾斜角为，则tank，则2k1ktanαtanπ2ktantanαπ22，解得k2. k1tanαtanπ212k

对点训练

x2y21.已知(2,1)是直线l被椭圆1所截得线段的中点，则直线l的方程是( )

369A．x2y0 B．x2y40 C．2xy30 D．2x3y10

x22.已知双曲线y21与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M,N两点，线段

2MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2（ ）

A．

11 B． C．2 D．2 22y23.已知双曲线x1上存在两点M,N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物

32线y9x上，则实数m的值为（ ）

A．4 B．-4 C．0或4 D．0或-4

2

类型2 求曲线的标准方程

x2y2典例2：已知椭圆21(0b2)的左右焦点分别为F1,F2，过左焦点F1作斜率为

4b2的直线与椭圆交于A,B两点，若直线OP的斜率为O为坐标原点，AB的中点是P，则b的值是（ ）

1，4A．2 B．3 C．【答案】D

3 D．2 2221x12y12x2y2【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则21，21，两式相减可得（x1

44b4b12yp＝y1+y2，∵P为线段AB的中点，∴2xp＝x1+x2，﹣x2）（x1+x2）2（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，

b2y1y2y1y2y1y2y1y21b21bkAB＝2，∴，，•∴又即b22，

x1x2x1x2x1x2x1x24424∴b2

对点训练

1.椭圆ax2by21与直线y12x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则A．

a的值为（ ） b23 C B．．22 D．23 46F(0,2)是双曲线的焦点，2.若双曲线的中心为原点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3,1)则双曲线的方程为（ ）

x2x2y2y22222A．y1 B．y1 C．x1 D．x1

3333

3.已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )

B．𝑦2=4𝑥 B．𝑦2=−4𝑥 C．𝑥2=4𝑦 D．𝑦2=8𝑥

类型三 点差法求离心率

x2y2典例3：已知A，B是椭圆E：221(ab0)的左、右顶点，M是E上不同于A，

ab4B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为9，则E的离心率为（ ）

A．

2235 B． C． D．

3333y0y0,kBM,x0ax0a【答案】D

【解析】由题意方程可知，A(a,0),B(a,0)，设M(x0,y0),kAM2222y0y04y04xyb2200 ,，，①又221，则整理得：2得y02(a2x0)，2x0ax0a9x0a9aab2y0b2a2c24b245②①②即2，联立，得，即，解得． e2222x0aaa9a93

对点训练

x2y201.设椭圆221ab0的两焦点为F1,F2，若椭圆上存在点P，使F1PF2120，

ab则椭圆的离心率e的取值范围为( ). A．(0,

3333 D[,1) ．] B．(0,] C．[,1)4422x2y22.经过双曲线221(a0，b0)的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有

ab且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．[2，+∞） B．（1，2） C．（1，2] D．（2，+∞）

x2y23.已知双曲线C:221的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于原点对称的两

ab点，M为l2上一点且kAMkBMe，则双曲线离心率e的值为（ ） A．5 B．51 C．2 D．2 2综合训练

1.已知 𝑚,𝑛,𝑠,𝑡∈𝐑∗，𝑚+𝑛=3，+=1，其中𝑚，𝑛是常数且𝑚<𝑛，若𝑠+𝑡的最小值

𝑠

𝑡

𝑚𝑛

是3+2√2，满足条件的点(𝑚,𝑛)是椭圆 （ ）

𝑥24

+

𝑦216

=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为

A. 𝑥−2𝑦+3=0 B. 4𝑥−2𝑦−3=0 C. 𝑥+𝑦−3=0 D. 2𝑥+𝑦−4=0

x2y222.已知椭圆221(ab0)的右焦点为F，离心率，过点F的直线l交椭圆于

ab2A,B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为（ ）

A．2 B．2 C．

11 D．

22x2y23.已知双曲线1上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为

84111 （ ） D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为-2，则

kABkBCkACA．-4 B．23 C．4 D．6

F2,0是双曲线的焦点，4.若双曲线的中心为原点，N两点，过F直线l与双曲线交于M，

且MN的中点为P1,3，则双曲线的方程为( )

x2x2y2y22222A．y1 B．y1 C．x1 D．x1

3333

5.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为m2，则的值是( )

n2A．

9223223 B． C． D．

322726.中心为原点，一个焦点为F（0,52）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为

1，2则该椭圆方程为（ ）

2x22y2x2y2A．1 B．1

75257525x2y22x22y2C．1 D．1

25752575

x2y27.已知椭圆C:221(ab0)的左、B，右顶点分别为A，点M为椭圆C上异于A，

abB的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为A．

1，则椭圆C的离心率为（ ） 411315 B． C． D． 4224x2y28.已知椭圆221ab0，的一条弦所在的直线方程是xy30，弦的中点

ab坐标是M(2,1)，则椭圆的离心率是（ ） A．1325 B． C． D． 5222

圆锥曲线中点弦问题解析

题型识别：弦中点，斜率积用点差

x2y21ab0）若A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆22（上不重合的两点，点M（x0,y0）ab为AB的中点，kAB.kOM的值为定值么？ 答题模版

x2y21ab0）第一步：若A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆22（上不重合的两点，则

abx12y12221ab， 22x2y21a2b2（xx）(xx）(yy2)(y1y2)第二步：两式相减得1221210， 2abyy2xxyy2（x0,y0）第三步：1是直线AB的斜率k，是线段AB的中点，（12,1）x1x222y0y1y2y1y2b2b2化简可得2k2

x1x2x1x2ax0a类型1 求中点弦直线斜率或方程

x2y2142典例1：已知椭圆E：，O为坐标原点，作斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM与AB的夹角为，且tan22，则k（ ） A．22 B．2 C． D．2 22【答案】A

【解析】由题意知k0，设Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，则2x0x1x2，

x12y121422y0y1y2，将A，B两点坐标代入椭圆方程2，两式相减得2x2y2124y01y0y12y22y1y2y1y21k2k，则OM，设直线OM的倾斜

x02k2x1x22x1x2x1x2x0角为，则tanα1，设直线AB的倾斜角为，则tank，则2k1ktanαtanπ2ktantanαπ22，解得k2. k1tanαtanπ212k

对点训练

x2y21.已知(2,1)是直线l被椭圆1所截得线段的中点，则直线l的方程是( )

369A．x2y0 B．x2y40 C．2xy30 D．2x3y10 【答案】B

【解析】设直线和圆锥曲线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点坐标为(2,1)，当斜率

22x12y12x2y2不存在时，显然不成立，设ykxm，分别代入圆锥曲线的解析式1，1369369并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解，得k11，所以y(x2)1，即：x2y40． 22y1y2y1y2919，得k，

x1x2x1x236236

x22.已知双曲线y21与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M,N两点，线段

2MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2（ ）

A．

11 B． C．2 D．2 22【答案】A 【解析】

x2设直线l的方程为yk1xb，代入双曲线方程y21，得到

22k1bx1x2122212，设k1x2bk1xb10，得到k212xxkxxMx1,k1x1b,Nx2,k1x2b，则N12,112b，则

22k2k1

2b11，故k1k2，故选A．

x1x22k122y23.已知双曲线x1上存在两点M,N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物

32线y9x上，则实数m的值为（ ）

A．4 B．-4 C．0或4 D．0或-4 【答案】D

【解析】∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率﹣1，

MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上

设直线MN：y=﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m

y﹣xb由2y2消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0

1x3△=4b2﹣4×2（﹣b2﹣3）=12b2+12＞0恒成立，

bm，∴b= 22m3∴MN中点P（﹣，m）

44∴Mx+Nx=﹣b，∴x0=﹣

∵MN的中点在抛物线y2=9x上， ∴

929mm∴m=0或m=﹣4 164

类型2 求曲线的标准方程

x2y2典例2：已知椭圆21(0b2)的左右焦点分别为F1,F2，过左焦点F1作斜率为

4b2的直线与椭圆交于A,B两点，若直线OP的斜率为O为坐标原点，AB的中点是P，

1，4则b的值是（ ）

A．2 B．3 C．【答案】D

221x12y12x2y2【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则21，21，两式相减可得（x1

44b4b12yp＝y1+y2，∵P为线段AB的中点，∴2xp＝x1+x2，﹣x2）（x1+x2）2（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，

b2y1y2y1y2y1y2y1y21b21bkAB＝2，∴，，•∴又即b22，

x1x2x1x2x1x2x1x244243 D．2 2∴b2

对点训练

1.椭圆ax2by21与直线y12x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则A．

a的值为（ ） b23 C B．．22 D．23 46【答案】C

ax2by21Bx2,y2，【解析】设点Ax1,y1，联立，得：a4bx24bxb10，

y12x4bxx12a4bxx2b2124b4a4bb14a16b4ab ．，

b12a4bxx12a4b4bay1y212x112x222x1x2＝1x1x21．设Ma4ba4b222a2baa4ba2．,∴M（∴直线OM的斜率为是线段AB的中点，）．则

2b2ba4ba4ba4ba22,代入①满足△＞0（a＞0，b＞0）． b

F(0,2)是双曲线的焦点，2.若双曲线的中心为原点，过F的直线l与双曲线相交于M，N两点，且MN的中点为P(3,1)则双曲线的方程为（ ）

x2x2y2y22222A．y1 B．y1 C．x1 D．x1

3333【答案】B

y2x2【解析】由题意设该双曲线的标准方程为221(a0,b0)，M(x1,y1),N(x2,y2)，

ab22(yy2)(y1y2)(x1x2)(x1x2)y12x12y2x2则221且221，则1，即

a2b2ababy1y26a21(2)2(y1y2)6(x1x2)21，，则即b23a2，则c24a24，22abx1x22b30x2所以a1,b3，即该双曲线的方程为y1.

3222

3.已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )

B．𝑦2=4𝑥 B．𝑦2=−4𝑥 C．𝑥2=4𝑦 D．𝑦2=8𝑥 【答案】A

∴xA+xB=2p，【解析】设抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥，直线与抛物线方程联立求得𝑥2−2𝑝𝑥=0，

∵xA+xB=2×2=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为𝑦2=4𝑥.

类型三 点差法求离心率

x2y2典例3：已知A，B是椭圆E：221(ab0)的左、右顶点，M是E上不同于A，

ab4B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为9，则E的离心率为（ ）

A．2235 B． C． D． 3333y0y0,kBM,x0ax0a【答案】D

【解析】由题意方程可知，A(a,0),B(a,0)，设M(x0,y0),kAM2222y0y04y04xyb22200 ,，①则整理得：2，又，得1y(ax200)，222x0ax0a9x0a9aab2y0b2a2c24b2452，②联立①②，得2，即即2，解得． e22x0aaa9a93

对点训练

x2y201.设椭圆221ab0的两焦点为F1,F2，若椭圆上存在点P，使F1PF2120，

ab则椭圆的离心率e的取值范围为( ). A．(0,3333] B．(0,] C．[,1) D．[,1)

4422【答案】C

F1PF2最大，【解析】当P是椭圆的上下顶点时, 120F1PF2180,60F1PO90,sin60sinF1PF2sin90,33c,1. F1Pa,F1Oc,1则椭圆的离心率e的取值范围为22a

x2y22.经过双曲线221(a0，b0)的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有

ab且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．[2，+∞） B．（1，2） C．（1，2] D．（2，+∞） 【答案】A

x2y2【解析】已知双曲线221a＞0，b＞0的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的

ab直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

bbc2a2b22

，∴3，离心率e24，∴e≥2，故选：A 2aaaa

x2y23.已知双曲线C:221的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于原点对称的两

ab点，M为l2上一点且kAMkBMe，则双曲线离心率e的值为（ ） A．5 B．【答案】B

【解析】设直线l1的方程为y51 C．2 D．2 2bbbx，则直线l2的方程为yx，设点Ax1,x1、aaabbbx1x2Mx2,x2，则点Bx1,x1，，aaakAMx1x2kMBbbbx1x2x1x2b222，，即，即aaakkee1eee10，AMBM2ax1x2x1x2e1，解得e51，故选：B. 2

综合训练

1.已知 𝑚,𝑛,𝑠,𝑡∈𝐑∗，𝑚+𝑛=3，𝑠+𝑡=1，其中𝑚，𝑛是常数且𝑚<𝑛，若𝑠+𝑡的最小值是3+2√2，满足条件的点(𝑚,𝑛)是椭圆 （ ）

A. 𝑥−2𝑦+3=0 B. 4𝑥−2𝑦−3=0 C. 𝑥+𝑦−3=0 D. 2𝑥+𝑦−4=0 【答案】D

【解析】因为 𝑚，𝑛，𝑠，𝑡 为正数，𝑚+𝑛=3，𝑠+𝑡=1，𝑠+𝑡 的最小值是 3+2√2，所以 (𝑠+𝑡)(𝑠+𝑡) 的最小值是 3+2√2，所以 (𝑠+𝑡)(𝑠+𝑡)=𝑚+𝑛+𝑛+2√𝑚𝑛，满足

𝑚𝑡𝑠𝑚

𝑛

𝑚

𝑛

𝑚𝑡𝑠

𝑚

𝑛

𝑥24

𝑚

𝑛

𝑦2

+16=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为

+

𝑛𝑠𝑡

≥𝑚+

=

𝑛𝑠𝑡

时取最小值，此时最小值为 𝑚+𝑛+2√𝑚𝑛=3+2√2，得：𝑚𝑛=

𝑥24

2，又：𝑚+𝑛=3，所以，𝑚=1，𝑛=2．设以 (1,2) 为中点的弦交椭圆 +

𝑦216

=1 于

𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，由中点坐标公式知 𝑥1+𝑥2=2，𝑦1+𝑦2=4，把 𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)

22

4𝑥1+𝑦1=16,

分别代入 4𝑥+𝑦=16，得 {2 两式相减得 2(𝑥1−𝑥2)+(𝑦1−𝑦2)=0，2

4𝑥2+𝑦2=16,

2

2

所以 𝑘=

𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥2

=−2．所以此弦所在的直线方程为 𝑦−2=−2(𝑥−1)，即 2𝑥+𝑦−4=0．

x2y222.已知椭圆221(ab0)的右焦点为F，离心率，过点F的直线l交椭圆于

ab2A,B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为（ ）

A．2 B．2 C．【答案】C 【解析】由题得

11 D．

22c2,4c22a2,4(a2b2)2a2,a22b2.设a2b2x12a2y12a2b2A(x1,y1),B(x2,y2)，由题得x1+x2=2，y1+y2=2，所以222222，两式相减

bxayab22得b(x1x2)(x1x2)a(y1y2)(y1y2)0，所以2b(x1x2)2a(y1y2)0，所

22以2b4b2222(y1y2)0，所以12k0,k1.

(x1x2)2

x2y23.已知双曲线1上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC的中点分别为

84D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为-2，则

111 （ ） kABkBCkACA．-4 B．23 C．4 D．6 【答案】A

x12y12【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)，则x1x22x0,y1y22y0，1，

8422y1y22y0(xx)(xx)(yy2)(y1y2)x2y2，即，即1，两式相减，得12121xxx84841201112kOE,2kOF，所以2kOD，同理，得kBCkACkAB1kAM112(kODkOEkOF)4. kBCkACF2,0是双曲线的焦点，4.若双曲线的中心为原点，N两点，过F直线l与双曲线交于M，

且MN的中点为P1,3，则双曲线的方程为( )

x2x2y2y22222A．y1 B．y1 C．x1 D．x1

3333【答案】D

【解析】根据题意，F2,0是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方

30x2y2K1，程为221，且Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN过焦点F，则MN12abx12y1221,①2y1y2ab1，变形可得y1y2x1x2，则有，①②，22x1x2xy221,②a2b222x12x2y12y222yyxxxx2yy6，又由，且，，变形可得：，b3a1212121222aby2又由c2，则ab4，解可得：a1，b3，则要求双曲线的方程为：x1.

322222

5.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为

m2，则的值是( )

n2A．

9223223 B． C． D．

32272【答案】A

【解析】设Mx1,y1,Nx2,y2，设MN中点为A为1，直线OA的斜率为

x1x2y1y2,，直线MN的斜率22y1y22x1x2,2.由于M,N在椭圆上，故

x1x22y1y2mx12ny121mx1x2y1y22222mxxnyy0，两式相减得，化简为，212122nyyxx1212mx2ny21即mm2. 21,nn26.中心为原点，一个焦点为F（0,52）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为则该椭圆方程为（ ）

1，22x22y2x2y2A．1 B．1

75257525x2y22x22y2C．1 D．1

25752575【答案】C

x2y21xy【解析】由已知得c＝52，设椭圆的方程为2联立得a250a2，21，

a50ay3x222消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，设直线y＝3xy1）y2）－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，，（x2，，由根与系数关系得x1＋x2＝

12a25010a4502，

x2y2由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a＝75，所以该椭圆方程为1.

2257510a4502

12a250x2y27.已知椭圆C:221(ab0)的左、B，右顶点分别为A，点M为椭圆C上异于A，

abB的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为A．

1，则椭圆C的离心率为（ ） 411315 B． C． D． 4224【答案】C

22x0y0【解析】由已知得A(a,0),B(a,0)，设x0,y0，由题设可得，221，所以

abb222.因为y2ax0a20kAMkBM2b2222ax022b2y0y0y0b1，所以1，则a222a2422x0ax0ax0ax0aa4c2a2b2b233. ，所以e21e22aaa42

x2y28.已知椭圆221ab0，的一条弦所在的直线方程是xy30，弦的中点

ab坐标是M(2,1)，则椭圆的离心率是（ ） A．1325 B． C． D． 5222【答案】C

【解析】显然M(2,1) 在椭圆内，设直线xy30与椭圆的交点为

A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)，x1x24,由M是A,B的中点有：

y1y22,将A,B两

x12y12x22y22点的坐标代入椭圆方程得:221, 221。两式相减得：

abab(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)x12x22y12y220,所以有,即02222ababy1y22b24(x1x2)2(y1y2)b212=kAB1所以2=，则椭圆的离心率0，即

a2b2x1x2aa2ca2b2b212 . 为：e1aa2a222