一元二次方程知识点和易错点总结

学习必备 欢迎下载 一元二次方程知识点总结 知识结构梳理 （1）含有 个未知数。 （2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。 （1） 法，适用于能化为xm)2nn0 的一元。 二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 一 元 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 二（3） 法 次 方（4） 法，其中求根公式是 程 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用 （2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 知识点归类 建立一元二次方程模型 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ 23；2x(x3)2x21 x20；⑴2⑵x26x0；（3）xx5；（4）（5）x5知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax2bxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 学习必备 欢迎下载 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如ax2bxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次方程。 例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 72（1）5x2x； （2）x2x38； （3）3x4x3x2 2 例2 已知关于x的方程m1xm22m1x20是一元二次方程时，则m 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x2时，x23x20所以x2是x23x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四 建立一元二次方程模型 建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。 注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。 例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场， 鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成， 若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场 （只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。） 因式分解法、直接开平方法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 学习必备 欢迎下载 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程： （1）5x24x； （2）(2x23)250； （3）x26x952x。 2 知识点二 直接开平方法解一元二次方程 若x2aa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 （1）x2aa0的解是xa；（2）xmnn0的解是2xnm；（3）mxncm0,且c0的解是x2cn。 m例 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）9x2160； （2）x5160； （3）x53x1 222 知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程 形如axbk0k0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接2开平方法解。 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）4x52360； （2）12x30 2 学习必备 欢迎下载 知识点四 用提公因式法解一元二次方程 把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 如：0.01t22t0，将原方程变形为t0.01t20，由此可得出t0或0.0t20，即t10,t2200 注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。 知识点五 形如“x2abxb0a,b为常数”的方程的解法。 对于形如“x2abxb0a,b为常数”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为xaxb0，则xa0或xb0，即x1a,x2b。 注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“x2abxb0a,b为常数”型方程的特征。 例 解下列方程：（1）x25x60； （2）x2x120 配方法 知识点一 配方法 解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 注意：用配方法解一元二次方程x2pxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 例 用配方法解下列方程： 7（1）x26x50； （2）x2x20 2 学习必备 欢迎下载 知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （2） 把原方程变为xmn的形式。 2（3） 若n0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。 例 解下列方程：x24x30 知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为xmn的形式； 2（3）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 例 用配方法解下列方程： （1）3x29x20； （2）x24x30 公式法 知识点一 一元二次方程的求根公式 bb24ac一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x 2a2用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为ax2bxc0a0的形式，确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b24ac的值；（3）若b24ac0，bb24ac则a,b.把及b4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。 2a2学习必备 欢迎下载 例 用公式法解下列方程 （1）2x23x10； （2）2xx210； （3）x2x250  知识点二 选择适合的方法解一元二次方程 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程 因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。 注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。 例 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x392x3；（2）x28x60；（3）x2(x1)0 22 知识点三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2bxc0a0根的判别式 △=b24ac 运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况： （1） △=b24ac﹥0方程有两个不相等的实数根； （2） △=b24ac=0方程有两个相等的实数根； （3） △=b24ac﹤0方程没有实数根； 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b24ac的值；④根据b24ac的符号判定方程根的情况。 学习必备 欢迎下载 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： （1）2x23x50；（2）9x230x25；（3）x26x100 知识点四 根的判别式的逆用 在方程ax2bxc0a0中， （1）方程有两个不相等的实数根b24ac﹥0 （2）方程有两个相等的实数根b24ac=0 （3）方程没有实数根b24ac﹤0 注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。 例 m为何值时，方程2m1x24mx2m30的根满足下列情况： （1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根； 知识点五 一元二次方程的根与系数的关系 b若x1,x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两个根，则有x1x2， abx1x2 a根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）x1x2x1x22x1x2 （2）222xx211 1x1x2x1x2（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a2； （4）│x1x2│= x1x22=x1x224x1x2 学习必备 欢迎下载 例 已知方程2x25x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。 （1）x1x2； （2）x1x2。 222知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程 利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。 例 当x取什么值时，代数式x2x60与代数式3x2的值相等？ 一元二次方程的应用 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。 知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a1x，两次增长后的值为a1x；（2）若基数为a，2降低率x为，则一次降低后的值为a1x，两次降低后的值为a1x。 2例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出关于x的方程为 知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题 与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量 例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。 （1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。 （2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。 易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a0. （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 学习必备 欢迎下载 一元二次方程测试题 一、选择题 1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（ ） A、1 B、2 C、1或2 D、0 2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A．452x50 B．45(1x)250 C．50(1x)245 D．45(12x)50 ba3、已知a，b是关于x的一元二次方程x2nx10的两实数根，则式子的ab值是（ ） A．n22 B．n22 C．n22 D．n22 4、 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 5、已知m,n是方程x22x10的两根，且(7m214ma)(3n26n7)8，则a的值等于 （ ） A．－5 B.5 C.-9 D.9 6、已知方程x2bxa0有一个根是a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） aA．ab B． C．ab D．ab b7、x22x20的一较小根为x1,下面对x1的估计正确的是 （ ） A．2x11 B．1x10 C．0x11 D．1x12 8、关于x的一元二次方程x2mx2m10的两个实数根分别是x1、x2，且2x12x27，则(x1x2)2的值是（ ） 学习必备 欢迎下载 A．1 B．12 C．13 D．25 9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据 题意，列出方程为( ) x(x1)A、x(x1)2450 B、x(x1)2450 C、2450 2x(x1)2450 D、222k1xxk0的一个根为1，则k的值为 x10、若关于的一元二次方程( ) A．－1 B．0 C．1 D．0或1 11、设a，b是方程x2x20090的两个实数根，则a22ab的值为（ ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 12、对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根； ②若b2+4ac<0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax+bx+c=O一定有两个不等实数根； ④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 2二、填空题 1、若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ． 2、设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根， 2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ． 3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ． 2axbx10(a0)有两个相等的实数根，4、已知关于x的一元二次方程ab222(a2)b4的值为__________． 求5、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a5，若关于x的方程学习必备 欢迎下载 x2b2x6b0 有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________． 226、已知关于x的一元二次方程x6xk0（k为常数）． 设x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，则K的值为__________． 22(n2004n2005)与x2003x200407、已知m、n是方程的两根，则(m22004m2005)的积是 . 三、简答题 1、已知x是一元二次方程x35x2x2的值． 3x26xx23x10的实数根，求代数式： 2、已知关于x的一元二次方程（1）求实数m的取值范围； （2）当x12x220x1x22m1xm20有两个实数根x1和x2。 时，求m的值。 、x2（友情提示：若x1x2是一元二次方程ax2bxc0a0两根，则有cbx1x2a） a， 学习必备 欢迎下载 3、某产品第一季度每件成本为50元，第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率为x。 （1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本； （2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x的值； 22x2(2k)xk120有实数根、． x4、若关于的一元二次方程求实数k的取值范围； tk设 ，求t的最小值．