一维谐振子的本征值问题

摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿

ˆ、ˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符a课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a光子数n与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。

关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。

在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动[1].1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式[2].一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法

[3].自1963年，Glauber

[4]等人提出谐振子相

干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域

[513]。

一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后

ˆ、光子数n与相位ˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符a从Dirac算子代数中求解出a的最小不确定关系得出相干态和压缩态。

1.矩阵力学解法

取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成

Vx12kx （１） 2

k为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为，令

k （２）

它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton量可表为 图１．一维谐振子势

ˆ21pˆˆ2 (3) H2x22ˆ表象中，由于 在能量Hˆ)f(xiˆ),pˆ] (4a) [f(xˆxˆ)if(pˆ),xˆ] (4b) [f(pˆx因此有

ˆHiˆˆˆˆˆ[H2xPPH] (5a)

ˆxˆˆiˆˆˆˆHp[HXXH] (5b) ˆpˆ表象的矩阵元ij，由于 取H HijEijij (6)

故有

ˆij(EiEj)pˆij (7a) 2xiˆijpiˆij (7b) (EiEj)xˆ矩阵的对角性， (7a)，(7b) 两式中的矩阵乘法的取和消失了。且只是ij和pij 两个未知量的由于H方程，与x，p的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。得

EiEj (8)

则有

Ei(i)， i0,1,2... 01 (9)

不为零的矩阵元为

pijpij(j,i1j,i1) (10a) ˆijxˆij(j,i1j,i1) (10b) x由(6)式得

pi,i1pi1,i22(i) (11)

此式的解为

p1i,i1ci2 (12)由(10b)式可知i0，为满足此条件应有

p1,00即c1120 得 12 (13)则

E1i(i2)， i=1，2… (14)2. Dirac算符算子代数解法 求解一维谐振子能量本征值

由(3)式，采用自然单位1，则

H1(x2p22) (15)因此H具有相空中的旋转不变性，令

aˆ11d2(xˆipˆ)2(xˆdxˆ) (16a)aˆ1(x1d2ˆipˆ)2(xˆdxˆ) (16b)利用[xˆ,pˆ]i，容易得 [aˆ,aˆ]i[xˆ,pˆ]1 (17)对H进行因式分解

Hˆ12[(ddxˆxˆ)(d1ˆdxˆxˆ)1](aˆaˆ2)N12

(18)

式中

ˆaˆaˆ (19) N则

ˆ]=0 (20) ˆ，N[H因为

ˆaˆaˆaˆN20 (21)

ˆ(aˆ (22) ˆaˆ)aˆaˆNNˆ为正定Hermite算符，Hˆ亦为正定Hermite算符 所以N设

ˆnnn (23) Nˆ的一个本征态，由(17)(18)式得 n为正数，n表示Nˆ,aˆ]aˆ (24a) [Nˆ,aˆ]aˆ (24b) [Nˆaˆ,aˆ)n(n1)aˆn([Nˆ]aˆNˆn (25a) Nˆ,aˆ)n(n1)aˆn([Nˆ]aˆNˆn (25b) Naˆ的本征态，且本征值为n，则aˆ的本征态，且本征值为n-1，ˆn与aˆn也是N因此可知，若n为Nn+1。

ˆ的本征态，从Nˆ的某个本征态n出发，逐次用降算符aˆ的一ˆ运算可得Nˆn是N由(25a)式可知a系列本征态，

ˆ2n， … (26) ˆn， an， a相应的本征值为

n， n-1， n-2， … (27)

ˆ为正定Hermite算符，它的所有本征值必须0。设Nˆ的最小本征值为n，本征态为n。故因为N00它的必须满足

ˆn00 (28) a由此可得

ˆnaˆaˆn00 (29) N0ˆ的本征值，对应本征值为n=0，因此n可记为0。 即n0是N00ˆ的本征态，从Nˆ 的最小本征值 n=0对应的本征态0出发，逐次ˆn也是N由(25b)式可知，a0运用算符aˆ可得Nˆ的全部本征态 0， aˆ0， (aˆ)20，相应本征值为

0， 1， 2， 可以得 Nˆ的归一化本征态 n1n!(aˆ)n0 (32)它是Hˆ的本征态 HˆnEn0 (33)Enn12， n=0，1，2… (34)添上能量单位，

E(n1n2)， n=0，1，2…. (35)求解波函数

由(28)式 aˆ0=0即12(xˆpˆ)00得， 1(xˆd2dxˆ)0(x)0， (36)解得 (x)N2x200e2 (37)由归一化条件

2n(x)dx1得，

… (30) … (31)

N0(1n!2)2 (38)

1由(32)式得nˆ)n0，即 (a1dn2x22ˆ)0(x)=((a)(x)e (39) n12n(x)n!n2nn!dx令x，则(36)式可写成:n()()122(d)ne2x22 =NnHn()e2n2nn!dN1n=(n!)2n2n (41)H(1)ne2n()(dnd)e2 (42)易得nn(x)=(1)n(x)， 即n的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。

Hermite多项式的递推关系

aˆn12(xˆddxˆ)nnn1 (43)aˆn1(xˆd2dxˆ)nn1n1 (44)因此

122(d)NnHn()e22dnNn1Hn1()e2 (45)12(d)NnHn(22d)en1Nn1Hn1()e22 (46)由(45)(46)两式得

nn1n2n12n1 (47)222即NnHn()e2n1Nn1Hn1()e22nNn1Hn1()e22

(40)

=得

Nnn1Hn1()e22(n1)22n2nNnHn1()e2222Hn()Hn1()2nHn1() (48)

由(43)得

1d()NnHn()ed2221dNnHn()e=

2d22

=nNn1Hn1()e而

22 (49)

Nn由(49)(50)两式得

Nn12n (50)

dHn()2nHn1() (51) d相干态与压缩态 2.4.1相干态

ˆ,aˆ，aˆ]aˆ0。Nˆ不对易。又由(43)式aˆnnn1，所以除n=0 以外，一般由(24)式[Nˆ的本征态。而且设Nˆ的本征态为则必须包含所有的n。设 n 不是NCn()n (52)

n0满足方程

ˆ (53) a为本征值，利用式(43)，得

Cnn=aCnn=Cnnn1 (54)

n0n0n0即得

CnnCnnn1 (55)

n0n0

以n1左乘上式，得

Cnn1nCnnn1n1 (56)

n0n0利用正交归一条件nnnn，得

CnCn1 (57)

n依次递推，即得

Cnnn!C0 (58)C0为归一化常数，归一化条件为

2nC2n=C0n02nn0n!=1 (59)由于

nnn0n!e2 (60)所以

C10e22ei (61)通常可以取C0为正实数，即取 =0 ，这时

=Cnn=e122n02 (62)n0n!n此即为谐振子的相干态。

在光学中，光子的产生和湮灭算符满足玻色对易关系

[aˆ,aˆ]1， (63)aˆaˆ12 (64)引入正交振幅分量算符

Xˆaˆaˆ (65a)Xˆaˆaˆ (65b)

ˆ和Xˆ分别对应于电磁场的正交振幅和相位分量，其不确定性为 Xˆ,Xˆ]2i (66) [XˆXˆ1 (67) XˆXˆ1时是最这种由 Heisenberg不确定性所限定的正交分量起伏称之为电磁场的量子噪声。当XˆXˆ时，该态称为相干态。 小测不准态， 量值X理想的无量子噪声的经典光波在相空间中是一个点，它给出的迹是一个理想正弦电场，没有任何不确定性，而相干态在x-p相空间起伏范围是以相位矢量末端为圆心的一个圆。起伏圆中的点(x，p) 描绘出电场具有不依赖于时间的起伏。

2.4.2压缩态

电磁场另外两个共扼参量，光子数n和相位满足以下不确定性关系:

n1 (68)

相干光的光子数起伏的平方等于平均光子数

n若n<

n (69)

则为相位压缩态。

n 则为强度压缩态，若<1n对于相干态，由于量子起伏的无规性，其强度差噪声与强度的噪声相等， 即

(I1I2)(I1I2) (70)

对于具有强度量子关联的生光束，若有

(I1I2)<(I1I2) (71)

则称为强度差压缩。

以上三种压缩性质完全不同，但又相互联系，从不同角度反映电磁场的非经典性。

3.波动方程解法

由(3)式，Schrödinger方程为

2d21(2x2)(x)E(x) (72) 22dx2为简单起见，引进无量纲参数

x， ， (73)

2E。 (74)

则方程(72)变成

d2(2)0 (75) 2d严格的谐振子势是一个无限深阱(如图1)粒子只存在束缚态，即

x,()0 (76)

任何有限的都是微分方程的常点，而是方程的非正则奇点，当x 时，方程(72)可近似表成

d220 (77) 2d此时，波函数的渐近行为是

exp[2] (78)

其中exp[1212]不满足边条件(76)式，弃之，因此令方程的一般解为 21exp[2]u() (79)

2代入(75)式得

d2udu2(1)u0 (80) dd此即Hermite方程。由于0是方程(75)的常点，在0的邻域(<)把展成Tailor级数，可以证明，只有当

12n， n=0，1，2，… (81)

时，方程(80)才有一个多项式解(Hermite多项式)。只有这样的解代入式(79)，才能保证满足 的边条件(76)，因此只有条件(81)满足时，才能求得物理上允许的解，将收集(81)代入式(74)，得谐振子能量本征值

1En(n)，n=0，1，2… (82)

2其次，我们来讨论波函数，当谐振子能量取式(82)的值时，方程(80)的一个解是Hermite 多项式

Hn() (另外一解是无穷级数)最简单的几个Hermite多项式是

H0()=1

H1()=2

H2()=42-2

H3()=8-12 (83)

利用正交公式

2nH()H()exp[]d2n!mnmn3 (84)

得归一化的谐振子波函数为

n(x)NnHn(x)exp[2x2]，

Nn=(12dn2n22)H()(1)e()e (85) ， nndn2n!1 m(x)n(x)dxmn (86)

-4 。一维谐振子势能量本征值问题 半壁谐振子势阱

设一维势场

[14]

的形式为

1V(x)=2x2，x>0 (87a)

2V(x)= ，x 0 (87b) 图２．半壁谐振子势阱

我们称之为半壁谐振子势阱（如图２），利用类似求解谐振子方法，先求出势阱中粒子的波函数为束缚态

(x)0， x 0， x (88a)

n(x)NnHn(x)exp[2x2]， x>0 (88b)

由(48)式Hn()的递推关系Hn1()2Hn()2nHn1()0可得

12

Hn1(0)2nHn1(0) (89)

又由(73)式H0()=1可知

H2(0)0 H4(0)0 … H2l(0)0 (90)

不满足波函数(88a)式。 由(73)式H1(0)=0 又由于(89)式 则

H1(0)=H3(0)=H5(0)=…=H2l1(0) =0 (91)

满足波函数(88a)式.故仅当n=2l+1(l=0，1，2….)才满足波函数束缚条件所以波函数

12n(x)NnHn(x)exp[x2]， 2，x>0 (92a) n(x)=0， x0 (92b)能量本征值:

E1n(n2)(2l1)， l=0，1，2… (93)半壁谐振子势垒

设一维势场[15]的形式

V(x)=122x2，x>0 (94a)

V(x)=0，x0 (94b)

我们称之为半壁谐振子势垒(如图3) 图３．半壁谐振子势垒把(94a)，(94b)两式代入schrödinger方程得

d2dx222(E122x2)0 (95a)d2dx222E0 (95b)得

1n(x)NnHn(x)exp[22x2] (96a)n(x)=Acos(kx)Bsin(kx) (96b)在x=0处n(x)连续得

ANnHn(x) (97)

在x=0处n(x)连续，由于(51)式

dHn()2nHn1()得 dB因此波函数为

2nNnHn(x)Hn1(x) (98)

kn(x)NnHn(x)exp[2x2]，x>0 (99a)

n(x)=NnHn(x) +cos(kx)

能量本征值为

122nNnHn(x)Hn1(x)sin(kx)，x0 (99b)

k1．． (100) En(n) ，n＝０，１，２．

25.讨论

通过以上演算，我们认识到采用坐标表象中求解定态Schrödinger方程的方法，繁复而冗长，采用Heisenberg矩阵力学解法，在定态情况下，只需要知道一个体系的Hamilton量和对易关系

ˆi,pˆj]iij便可确定它的全部性质，但在实际问题的处理和计算中， Schrödinger波动力学远比[xHeisenberg矩阵力学便易，特别是在处理半壁谐振子势情况下。而算符算子代数运算则集中了两者的优点，不仅给出了一维谐振子比较漂亮的解，而且极便捷地推导出谐振子的波函数Hermite多项式递推关系。

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Problems of One-dimensional Harmonic Oscillator’s Energy Eigernvalue

Abstract: One-dimensional harmonic oscillator’s energy eigernvalue is solved by the way of Heisenberg’s matrix mechanics， algebra solution of the operator， and Schrödinger’s wave mechanics. On this basis, solving of problems in half potential wells (build) of one dimension harmonic oscillator is given. Coherent state and squeezed statethat are one of the front subjects in physics are results of the non- classical quantum effect.There are extensive application prospects in high-accuracy optics measurement of the quantum limit of super standard、exceed the low noise photo-communication and quantum communication field. Eigernstate

ˆthat of ais harmonic oscillator’s coherent state is solved out from Dirac’s algebra solution ˆ and rise operator of the operator. Meanwhile, minimum uncertain relation of fall operator aˆ, photon count n and phase place a draw coherent state and squeezed state in this paper.

Key words: Quantum Mechanics， one-dimensional harmonic oscillator， Heisenberg’s matrix mechanics，algebra solution of the operator ，Schrödinger’s wave mechanics，half potential wells of oscillator in harmony(build) of one dimension , coherent state, squeezed state.