2014年全国高中数学联合竞赛一试A

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共计64分 1.若正数a,b满足2log2a3log3blog4(ab)，则

11的值为 ab3a3.若函数f(x)x2a|x1|在0,上单调递增，则实数a的取值范围是

2(n2)a2014an(nN),则4.数列an满足a12,an1 n1a1a2a20135.正四棱锥PABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是

6.设椭圆的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与交于点P,Q.若|PF2||F1F2|且3|PF1|4|QF1|,则椭圆的短轴与长轴的比值为

7.设等边三角形ABC的内切圆半径为2,圆心为I.若点P满足PI1,则APB与APC的面积之比的最

大值为

8.设A,B,C,D是空间四个不共面的点,以

2.设集合b|1ab2中的最大元素与最小元素分别为M,m，则Mm的值为

1的概率在每对点之间的连一条边,任意两对点之间是否连边是相2互独立的,则A,B可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概率为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）平面直角坐标系xoy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线

y24x的两条切线，两切点连线lp与PO垂直。设直线lp与直线PO，x轴的交点分别为Q,R。 （1）证明R是一个定点；

|PQ|（2）求的最小值。

|QR|

10.（本题满分20分）数列an满足a16,an1arctan(secan)(nN)..求正整数m,使得

sina1sina2sinan1. 10011.（本题满分20分）确定所有的复数c,使得对任意复数z1,z2(|z1|,|z2|1.z1z2),均有

(z1c)2cz1(z2c)2cz2

加 试

一、（本题满分40分）设实数a,b,c满足abc1，abc0，求证：abbccaabc1. 24

二、（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC中，BAC60,过点B,C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD,CE，且满足BDCEBC，直线DE与AB,AC的延长线分别交于点F,G。设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N。证明：AMAN.

三、（本题满分50分）设S1,2,,100,求最大的整数k,使得S有k个互不相同的非空子集,具有性质:对这k个子集中任意两个不同子集,若它们的交非空,则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.

四、（本题满分50分）设整数x1,x2,,x2014模2014互不同余,整数y1,y2,,y2014模2014也互不同余.证明:可将y1,y2,,y2014重新排列为z1,z2,,z2014,使得x1z1,x2z2,,x2014z2014模4028互不同余.