九年级数学上册专题突破讲练切线长定理和三角形的内心试题新版青岛版

切线长定理与三角形的内心

1. 切线长的概念

经过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 说明：“切线”和“切线长”是两个不同的概念，“切线”是直线，不可度量，是无限长的；而“切线长”是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量，是有一定长度的。 2. 切线长定理

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

符号语言：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA ＝ PB，∠1＝∠2。

说明：（1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线。 （2）“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。

3. 三角形的内心

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点。

说明：⑴三角形的内心一定在三角形的内部；⑵三角形的内心，是三角形的三个内角角平分线的交点；⑶三角形的内心到三边的距离相等且都等于三角形内切圆的半径。 4. 切线长定理的基本图形研究

如图，P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，直线OP交⊙O于D、E，交弦AB于C，则：

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⑴由切线长定理得：PA＝PB

⑵由等腰三角形三线合一性质得：PC⊥AB，AC＝BC ⑶由垂径定理得：AD=BD；AD＝BD ⑷由切线性质定理得：OA⊥AP，OB⊥BP ⑸∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8

⑹由AD、BD分别平分∠PAB和∠PBA得点D为△ABP的内心。

例题 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧⌒（不包括端点D、E）上任一点Ｐ作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若DE⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）

A. r

B.

3r C. 2r 2AD.

5r 2DMPOC

解析：在切线性质定理中，常见的辅助线是连接经过切点的半径，结合切线长定理可知

BNEMDMP，NPNE，再根据三角形周长的定义及等量代换即可求解。

O是RtABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC。又解：连接OD、OE，

MD,MP都是O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NPNE。 CRtMBNMBBNNMMBBNNPPMMBMDBNNE＝BD＋BE＝2r。选C。

答案：C

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点拨：涉及到圆的切线性质定理或判定定理时，最常见的辅助线添法是连接经过切点的半径，而且半径与切线垂直。对直角三角形来说，内切圆的半径r角边，c是斜边）。

利用切线长定理进行推理证明

“切线长定理”为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用它进行相关的计算和证明。

满分训练 已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B。 （Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；

（Ⅱ）如图②，过点B作BDAC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小。

abc（a、b是直2图① 图②

解析：（1）由切线与经过切点的半径垂直，∠BAC＝25°，易算∠MAB，再由切线长定理，可得MA＝MB，则∠MBA＝∠MAB得解。（2）连接BA、BD，可得平行四边形BMAD是菱形，由ABAD，可得BA＝AD＝BD，可得⊿BAD为等边三角形，从而可得∠AMB＝60°。

答案：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，有MAC90。又∠BAC＝25°， ∴MABMACBAC65。∵MA、MB分别切⊙O于点Ａ、B。

∴MA＝MB，有MABMBA，∴AMB180(MABMBA)50。 （Ⅱ）如图，连接AD、AB。

∵MAAC，又BDAC，∴BD∥MA。又BD＝MA。 ∴四边形MADB是平行四边形。

∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，有AD＝BD。又AC为直径，BDAC，得

ABAD，有AB＝AD。∴ABD是等边三角形，有D60。∴在菱形MADB中，∠AMB＝D60。

点拨：利用切线长定理时，恰当的添加辅助线，构造特殊的图形，有利于问题的快速解决。

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（答题时间：30分钟）

1. 一个钢管放在V形架内（如图），O为钢管的圆心。如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60，则OP＝（ ）

A. 50 cm

B. 253cm

C. 503cm

3D. 503cm

2. 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）

A. EF＞AE＋BF C. EF＝AE＋BF

B. EF＜AE＋BF D. EF≤AE＋BF

O于A、B两点，CD切O于点E，

2AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①ODDECD；

1②ADBCCD；③ODOC；④S梯形ABCDCDOA ；⑤DOC90。其中正

23. 如图，AB为半圆O的半径，AD、BC分别切确的结论有（ ）

A. ①②⑤

B. ②③④

C. ③④⑤

D. ①④⑤

4. （武汉中考）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若∠CED＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则DE的长度是（ ）

A.



90xR90 B.

90yR90 C.

180xR180 D.

180yR180.

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5. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝ 。

6. 如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD//BC，那么DOC的度数为 。

7. 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆， E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点。若∠A＝50°，则∠EPH＝ 。

DHAEGPOFCB 图68.（恩施州中考）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的

周长为 。

9. 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC。

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R。

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10. 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，

（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD＝6cm，OC＝8cm，求CD的长。

11.（雅安中考）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA 的延长线于点E。

（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积。（结果保留π）

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1. A 解析：由切线长定理知：∠OPN＝＝50 cm，故选A。

1∠MPN＝30，所以在Rt△OPN中，OP＝2ON22. C 解析：如下图，连接OA、OB，则OA、OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO＝∠OAB，又EF∥AB，则∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，则EA＝EO，同理可求出：FO＝FB，则EF＝AE＋FB；

3. A 解析：如图，连接OE，①中结论可由切线性质及切线长定理可得OE⊥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2＋∠3＝90°，可证△OED∽△COD，得ODDECD；根据切线长定理可得AD＝DE，BC＝CE，所以ADBCCD，③中结论不正确，④中高应该是AB，而不是OA。故选A。

2

4. B 解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°，所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，

化简，得：z＝（90－x－y）°，在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，所以，弧DE的长为：

(1802y)R90yR＝，故选B。

901805. 23° 解析：由PA、PB是⊙O是切线，∴PA＝PB，又∠P＝46°，∴∠PAB＝∠PBA＝67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°。

6. 90° 解析：∵若AD//BC ∴∠ADC＋∠DCB＝180° 又∵DA、DC与⊙O相切，∴∠ODC＋∠OCD＝

1（∠ADC＋∠DCB）＝ 90°，∴DOC＝90°。 21∠HOE＝65º。27. 65° 解析：连接OH、OE，因为⊙O是四边形ABCD的内切圆，所以OH⊥AD，

OE⊥AB，而∠A＝50º，所以∠HOE＝130º，所以∠EPH＝

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8. 6＋π 解析：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A、B，则∠CAO＝90°，∠ACB＝30°， ∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，∴AO＝1，∴CO＝2AO＝2， ∴BC＝2＝1＝3，∴扇形的弧长为：

＝π，∴则扇形的周长为：3＋3＋π＝6＋π。

9. 解析：（1）证明：过点O作OE⊥CD于点E。

∵AM且⊙O于点A，∴OA⊥AD。又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA。又∵OA是⊙O的半径。

∴CD是⊙O的切线。

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F。（如上图）∵AM、BN分别切⊙O于点A、B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形。∴AD＝BF，AB＝DF。又∵AD＝4，BC＝9。

∴FC＝9－4＝5。又∵AM、BN、DC分别切⊙O于点A、B、E。∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13。在Rt△DFC中，DC2＝DF2＋FC2。

∴DF＝DC2-FC2132－52＝12。∴AB＝12。∴⊙O的半径R是6。 10. 解析：（1）证明：连接OE，∵AD和DE是⊙O的两条切线，∴∠AOD ＝∠EOD＝

1∠AOE，∵弧AE所对的圆心角是∠AOE，弧AE所对的圆周角是∠ABE，∴∠ABE＝21∠AOE，∴∠AOD ＝∠ABE，∴OD∥BE。2.

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（2）如下图，∵BC和CE是⊙O的两条切线，∴CE＝CB，∴点C是线段BE垂直平分线上的一点，又∵OB＝OE，∴点O是线段BE垂直平分线上的一点，∴线段OC是线段BE的垂直平分线，∴OC⊥BE，∵OD∥BE；∴OC⊥OD在Rt△OCD中，OD＝6cm，OC＝8cm，根据勾股定理，得CD＝OD2OC2＝10 cm。

11. 解析：（1） 证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC ＝90°，∵CD＝CB， ∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC ＝∠ABC＝90°， ∴CD是⊙O的切线。

（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60º，OB＝2，BF＝3， ∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2

3＝23，∠BOD＝2∠BOF＝120°，

1202214231＝3 ∴S阴＝S扇 形 BOD －S△ BOD36023

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