试题（解析版）
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第Page\\某MergeFormat1页共NUMS\\某MergeFormat6页 2022届山西省大同市高三上学期学情调研测试数学（文）试题 一、单选题
1．已知集合，，则（） A．ABB．BAC．D． 【答案】B
【解析】解不等式，可求出集合，进而对四个选项逐个分析，可得出答案.
【详解】 由题意，， 又，所以BA，，. 故选：B. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集、集合的包含关系，及判断两个集合是否相等，属于基础题.
2．复数的共轭复数的模为（） A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】求出，进而求出的共轭复数，再求出共轭复数的模即可. 【详解】 由题意，，
所以复数的共轭复数为， 则. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查学生的计算能力，属于基础题.
3．已知，则（） A．3B．C．D． 【答案】B
【解析】利用二倍角的正弦和余弦公式以及同角三角函数的基本关系式，将所求的表达式化简为正切函数的形式，代入求解即可．
【详解】 解：已知， 而. 故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦和余弦公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
4．已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为（） A．B．C．D． 【答案】A
【解析】根据双曲线的性质，可得，，进而结合余弦定理，可求出，进而由可求出答案.
【详解】
双曲线，则，所以， 则，平方得， 且，
由余弦定理，即， 解得， 则. 故选：A. 【点睛】
本题考查了双曲线几何性质的简单应用，考查焦点三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
5．已知各项均为正数的等比数列，，则（）
A．25B．20C．D．10
【答案】D
【解析】由各项均为正数的等比数列有性质可知，从而可求得结果 【详解】
解：由各项均为正数的等比数列有性质可知， 因为，
所以，解得10， 故选：D 【点睛】
此题考查等比数列的通项公式及其性质的应用，考查计算能力，属于中档题
6．若变量满足约束条件则的最大值为() A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】
作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，代值计算可得取最大值
故选B.
【点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7．设函数的最大值为5，则的最小值为（） A．B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】根据题意，设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.
【详解】
解：由题可知，， 设，其定义域为， 又， 即， 由于 ，
即，所以是奇函数， 而，
由题可知，函数的最大值为5， 则函数的最大值为：5-3=2， 由于是奇函数，得的最小值为-2， 所以的最小值为：-2+3=1. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及奇函数性质的应用和函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
8．在直角中，直角边，则（） A．B．25C．7D． 【答案】A
【解析】由已知可得斜边BC=5,角A为直角，然后由向量的数量积公式和向量的加减运算法则化简求值即可.
【详解】
由已知可得直角三角形斜边BC=5,角A为直角，所以, 则 , 故选：A 【点睛】
本题考查平面向量数量积公式的应用，考查向量加减运算法则的应用，属于基础题.
9．在正方体中，为棱的中点，则（）． A．B．C．D． 【答案】C
【解析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
画出正方体，如图所示．
对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．
对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．
对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．
对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．
故选C． 【名师点睛】
本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．
10．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A．B．C．D． 【答案】C
【解析】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．
【考点】1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．
11．椭圆的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与椭圆交于四个点，且为正六边形，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D． 【答案】D
【解析】由以为直径的圆与椭圆交于四个点，且为正六边形，可得，，从而可求出、的表达式，结合，可求出椭圆的离心率.
【详解】
因为以为直径的圆与椭圆交于四个点，且为正六边形， 所以，， 所以，， 又，即，则，
故椭圆的离心率为. 故选：D. 【点睛】
本题考查椭圆定义的应用，考查椭圆的离心率，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
12．如图，在三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（） A．B．C．D． 【答案】C
【解析】由，，可得平面，在△中，计算可得，设△的外接圆圆心为，则在线段上，可求得外接圆半径，过作的平行线，取的中点，过作的垂线，垂足为，则球心为，连结，由，可求出即为外接球的半径，进而可求出外接球的表面积.
【详解】
因为，，且，平面，所以平面，
在△中，过作的垂线，垂足为，因为，所以，则，即， 所以是的垂直平分线，故，
设△的外接圆圆心为，则在线段上，设外接圆的半径为，则，即， 过作的平行线，取的中点，过作的垂线，垂足为，则球心为，连结，则为矩形，所以，即外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C. 【点睛】
本题考查外接球，考查三棱锥的性质，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 二、填空题
13．已知等差数列前9项的和为27，，则______． 【答案】98
【解析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】
等差数列前9项的和为27，， ， 解得，， ．
故答案为98． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
14．若曲线的一条切线是，则的最小值是______． 【答案】4
【解析】设切点为，利用导数的几何意义，可得出切线方程的表达式，进而可求出，从而可得，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
求导得，，设切点为，则切线斜率为， 故切线方程为，即， 所以，则，
当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：4. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
15．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为______．
【答案】
【解析】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A，B，C，田忌的上等马，中等马，下等马分别为a，b，c，根据每一场双方均任意选一匹马参赛，列出基本事件总数，然后找出田忌获胜的基本事件个数，代入古典概型的概率公式求解.
【详解】
设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A，B，C，田忌的上等马，中等马，下等马分别为a，b，c，
每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，
基本事件有：，共6个，
其中田忌获胜的基本事件是，共1个， 所以田忌获胜的概率为， 故答案为：
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
16．设函数，已知在有且仅有5个零点，则的取值范围是______． 【答案】
【解析】当时，可知，根据在上第5个零点及第6个零点的值，可建立不等关系，进而可求出的取值范围.
【详解】 当时，，
因为函数在上第5个零点为，第6个零点为， 所以，解得.
故答案为：. 【点睛】
本题考查了三角函数的零点问题，意在考查学生的综合应用能力，属于中档题. 三、解答题
17．在,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且,若,. (1)求;
(2)求的面积S. 【答案】(1);(2)或.
【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得，再结合平方关系即可求出；
(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，，即可求出边，再根据三角形面积公式即可求出．
【详解】 (1)由题意得 由余弦定理得: 由正弦定理得 所以， ∴中，．
(2)由余弦定理得
解得或 ∵，∴ 由得或． 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18．为了打好“精准扶贫攻坚战”，某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，根据收集到的市场信息，得到某地区100户农民该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图．
（1）若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中、差的概率（以频率代替概率）；
（2）根据频率直方图计算这100户农民该品种蔬菜年销量的平均数和中位数（保留2位小数）．
【答案】（1）0.3；0.5；0.2；（2）18.75；18.33
【解析】（1）根据每组频率等于该组小长方形的面积，进而求解即可；
（2）根据频率分布直方图的性质，分别求出平均数与中位数即可. 【详解】
（1）销量差的概率为， 销量中的概率为，
销量好的概率为. （2）平均数为； 设中位数为，
因为前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以，则，解得， 故中位数约为.
本题考查频率分布直方图，考查平均数与中位数的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
19．如图，在圆柱W中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异与N，F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面的同侧，圆柱W的底面半径为1．
（1）若平面平面，证明；
（2）若直线平面，求H到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由平面平面，及，可推出平面，进而可得到； （2）连接，易知平面，结合平面，可证明平面平面，从而可知H到平面的距离等于到平面的距离，取线段的中点V，可知，可证明平面，即H到平面的距离为，求解即可.
【详解】
（1）证明：因为平面平面，且平面平面，
而，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）连接，如图所示，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为直线平面，且，平面，，所以平面平面， 所以H到平面的距离等于到平面的距离， 取线段的中点V，则， 因为平面，平面，所以， 又，所以平面，
所以H到平面的距离为，
连结，则，在等腰直角三角形中，，， ∴，所以所求距离为． 【点睛】
本题考查圆柱的性质，考查线线垂直的证明，考查点到平面距离的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.
20．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为A、B．已知，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设P是椭圆C上异与A、B的点，与某轴垂直的直线l分别交直线、于点M、N，求证：直线与直线的斜率之积是定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由，可知，结合点在椭圆上，代入可得，进而由和，可求出，从而可得到椭圆方程；
（2）设P点坐标为，的横坐标为，可表示出直线的方程，及的坐标，进而得到直线的斜率，同理可求得直线的斜率，进而得到两个斜率之积为，再结合点P点在椭圆上，可得，代入可得到.
【详解】
（1）因为，所以，即，
又，且点在椭圆上，所以，即， 又，所以，整理得，
由，可得，所以椭圆方程为. （2）设P点坐标为，的横坐标为， 则直线的方程为， 故，则直线的斜率 直线的方程为，故， 可得直线的斜率， 故，
又P点在椭圆上，则，即， 因此.
故直线与的斜率之积是定值.
【点睛】
本题考查椭圆方程，考查直线的斜率关系，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
21．已知函数
（1）若函数图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点； （2）若不等式有解，求a的取值范围．
【答案】（1）极小值点为，无极大值点；（2）且.
【解析】（1）求导后可知，当时取最大值，求得的值，再利用导数研究函数的单调性，进而得到极值点；
（2）利用导数研究函数的单调性，得到，将有解转化为，设函数，结合函数的单调性得到，则等价于且，由此求得的取值范围．
【详解】
解：（1）由于图像上各点切线斜率的最大值为2， 即取得最大值为2， 由题可知的定义域为， 则，
即是关于的二次函数， ∵，∴当时，取得最大值为， ∴， 而，∴，
∴此时， 在上单调递减， 在上,单调递增，
∴的极小值点为，无极大值点. （2）∵，其中且， 在上，，则单调递减， 在上，，则单调递增， ∴，
∵关于的不等式有解， ∴， ∵，∴， 设，则，
在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减， ∴，即在内恒成立， ∴要求，即，
则只需即可，即，等价于， 解得：且，
∴的取值范围是：且.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及构造新函数和根据不等式有解情况求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，是中档题．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值． 【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.
【详解】 （1）由，得 ，即
（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得： 设是方程的根，则：， ∴ ，又 或
【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．
23．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）．
【解析】【详解】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．
试题解析：（1）当时，不等式等价于.① 当时，①式化为，无解； 当时，①式化为，从而； 当时，①式化为，从而. 所以的解集为. （2）当时，.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得. 所以的取值范围为.
点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：
2）(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．
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