8.3.1 三重积分-直角坐标系切片法,柱面坐标系

三、切片法z又叫“先重后单法”c2设区域夹在平面Dz=cz1，z=c2(c1c2)之间用竖坐标为z(c1zcc2)1的平面截所得截面为Doy或D(z)，即zx{(x,y,z)(x,y)Dz,c1zc2}f(x,y,z)dvc2dzx,y,z)dxdy (3)c1f(Dz1f(x,y,z)dvc2dz(x,y,z)dxdyzc1fDz上式的适用范围：Dz①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）②f (x,y,z) 在Dz 上对x、y的二重积分简单o特别当f (x, y, z) 只是z 的函数：yxf(x,y,z)dvc2cdzc2(z)1(z)dxdyc1DzdzDza类似地f(x,y,z)dv2dx(x,y,z)dydza1fDxf(x,y,z)dvb2bdyz)dzdx1f(x,y,Dy3用“切片法”较方便z①Dz是椭圆域，较简单zcDz②f (x,y,z)=z2只是z 的函数oDb0yz2dxdydzxax2y2z2:a2221cybccz2dzdxdyDzb1z2cc2cz2(Dz)dzabcz2Dz2oaz2xc(12)zdz1c24c15abc3Dx2y2z:a2b21z2c2。5rx2y2zza2x2y2a2r2解法二：柱面坐标：zdvrdrdzoaDda2r2rzx2yxyax2y2a2Dxy:222220d0rdrarrzdzy2ad2r1(a22r2)drDxy002oax428a2例4计算三重积分z2dv,其中是由椭球面x22a2yb2z2c21所围成的空间闭区域。解zyc2zDb1zzc2oDby0Dozxa1z2axc22:czc,(x,y)Dy2z2z,Dz:xa2b21c2。4z2dxdydz4z15abc3类似可得：cy2dxdydzb2bybydydzdxoyDybby2ac(1y243xaD0Dyb2)dy15abc。x2y2z2x2dxdydza:a2ax2dxdydzzb2c21ax2D24x3Dyaxbc(1a2)dx15abc;ox(x2y2z2)dxdydz4abc(a2b2c2Dx2z2y2y:221215)acb61练习一计算三重积分zdvz:x2y2z1。1解法一用“先单后重法”zdv(1ox2y2zdz)dxyDxy:x2y2z1z21yDx2y2dxy212[1(x2y2)]dDoDxy1xxy12120d0(1r2)rdr4D2xy：xy217计算zdv:x2y2z1。z虽然被积函数关于z是奇函数，1但积分区域不关于坐标面xOy对称，不能用对称性xoy投影法：zdv(12xy2zdzd)dzDxy1切片法：zdv10dzzdzDzDzxoy9计算I(y4sinxz)dvz:x2y2z22Rz。zD解法一z用先重后单法。2Royzdv0zdzdxdyyxDz:0z2R2R(z)dzDz2R0z(2Rz2z3)dzo(203Rz3z44)2R4403RD2z:xy22Rzz211练习一计算三重积分zdvz:x2y2z1。1z解法二用先重后单法。Dz用平行于xoy面的平面去截xoy空间区域间区域,得平面闭区域Dz,zdv10dzzdDzDz11oz0zdzd0z(z2)dzDz1z3z410dz404。Dz:x2y2z28练习二计算I(y4sinxz)dvz:x2y2z22Rz。解关于yoz平面对称，y4sinx关于x是奇函数oyxy4sinxdv0:x2y2(zR)2R2I(y4sinxz)dvzdv10:x2y2(zR)2R2zRR2x2y2zRR2x2y2解法二用“先单后重法”zdvR2x2y2oD(RRR2x2y2zdz)dxyxyyz2RR2x2y2yDxy2RR2x2y2dDxy14RR2x2y2o2dxDxy1220dR4R4Dxy:x2y2R204RrR2r2dr31228.3.3 柱面坐标系下的三重积分的计算法一、柱面坐标z设M(x,y,z)为空间内一点并设点M(x,y,z)在xoy面上的投影P的极坐标为(r,,0)。M(r,,z)M(x,y,z)z这样的三个数r,,z 就叫ory做点M的柱面坐标柱面坐标。xxyP(r,,0)把点先投影后用极坐标表示13③点M的直角坐标与柱面z坐标的关系为：M(r,,z)xrcosM(x,y,z)yrsinozryzzxP(r,x,0)zy④柱面坐标系中的体积rd元素drdzdvrdzdrdroxdy15例1将累次积分化为柱面坐标的累次积分, 并求值。1dx1x2az22a01x2dy0zxydzzx2y2dvo2d21drda1y00zrrdzd6a2xy0za一般化为先z，:0r1再r，最后o1x22的三次积分Dxy17z①规定r、、z的变化范围为：0 r<+∞ ，M(r,,z)0 2π或(-π π)M(x,y,z)－∞< z< +∞ozrxy②三组坐标面分别为xyP(r,,0)r＝常数，即以z 轴为主轴的圆柱面；＝常数，即过z 轴的半平面；z＝常数，即与xoy面平行的平面；14二、柱面坐标中三重积分的形式坐标变换：xrcos，yrsin，zzf(x,y,z)dv=f(rcos,rsin,z)Jdzdrd=f(rcos,rsin,z)rdzdrdxxxrzJ(x,y,z)yycosrsin0(r,,z)yrzsinrcos0zzz001rz16例1将累次积分化为柱面坐标的累次积分z, 并求值。zx2y2dva21ad0dr0zrrdz2o1yy2dxdyaxDx20zdzxyy21adrdrzrdz200o1x先用投影法后用极坐标表示Dxy183例2计算zdv,其中z由zx2y2和za2x2y2所围。oa先求圆锥面与球面的交线：先求圆锥面球面交线x2yD2y2a2xy:xzx2y2,z2a2z2y2za2x2y2,Dxyz2a22oax2a,xy22219解法三zdvz2Dz2由zx2y2和za2x2y2所围。D1z1oax2yzdvzdvzdv121中的截面Dz1：22a0zdzda2Dazdzx2y2z2z12dDz2中的截面Dz22azz2dza22：2z(a2z2)dzx2y2a2z2042a28a分界面：z2a21例3计算x2y2dv,z其中:x2y2z2，1z2121:x2y2z2Dxy2oDxy1xy投影：1x2y24:x2y2z2，1z22:1z2投影：x2y21y解 x2y2dvDxy1Doxy212xx2y2dvx2y2dv12D2xy:xy2423：x2y2za2x2y2z解法一投影法zdvaoa2x2y22ydxdyDx2y2zdzxD22a2xy:xyxyy22ad2a2x2y200rdrx2y2zdz2aad2x0r1(a22r2)dr0a4o28220何时选用柱面坐标计算三重积分？为旋转体或的边界面中含圆柱面、球面、圆锥面时投影区域为圆时,被积函数形如f(x2y2)、f(yx)等时。相当于先用投影法，再对投影区域用极坐标表示一般也可用切片法，有时用切片法更简单22z解 x2y2dv1x2y2dvx2y2dv21222Dxy2oDxy1Ddrdrrrdzdrd1rrdzxyxy1Dxy2:x2y2z2，1z22220d1rrdrrdzy212Dxy10d0rrdr1dzDoxy212x2[2(2r2r3)dr1]5132Dxy:x2y24244解法二用截面法z:1z2,(x,y)Dzx2y2zdvDzoy2dzx2y2dxdyx1Dz:x2y2z2，1z222zy1dz0d0rrdr22z31dz2z42Dz3341ozx52D2z:xy2z2255