1．如图，在几何体的中点.
中，四边形
是矩形，
平面
，
，
，，分别是线段
，
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求平面
平面与平面
；
所成角的余弦值.
中，
，将
沿
折起，使点到达
的位置，且二面角
2．如图，在边长为8的菱形为
.
（1）求异面直线（2）若点为
与所成角的大小；
与平面
所成角的正弦值. 为平行四边形，
，
，
是边长为
的等边三角形，
中点，求直线
3．如图，在四棱锥
中，底面
（1）证明：（2）求二面角4．如图所示，三棱锥点，且
，
.
的余弦值..
放置在以
，
为直径的半圆面上，为圆心，为圆弧
.
答案第1页，总31页
上的一点，为线段上的一
（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）当二面角5．如图所示，在几何体
平面；
时，求
的值.
平面
，
，且
.
的平面角为
中，
是等边三角形，
（I）试在线段（Ⅱ）求二面角
上确定点的位置，使
的余弦值.
中，
平面，并证明；
6．如图，在直三棱柱是等腰直角三角形，，，点是侧棱的上一点．
（1）证明：当点是的中点时，平面；
（2）若二面角7．如图，中点，连接
和、
、
的余弦值为，求的长．
，
，、分别为
、
的
所在平面互相垂直，且.
第2页，总31页
（1）求证：（2）求二面角
；
的正弦值.
中，、分别为
、
中点，
平面
.
8．如图所示，四棱锥
（1）若四边形（2）若四边形9．如图，等腰梯形
为菱形，证明：平面为矩形，二面角
中，平面
，）.
平面.
，，
，，为
，求三棱锥中点，以
为折痕把
的体积.
折起，使
的正弦值为
点到达点的位置（
（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若直线
； 与平面
所成的角为，求二面角中，
,
的余弦值. ,为
中点，将
沿
折到
的位置.
10．如图，等腰梯形
证明：当四棱锥
；
的体积最大是，求二面角 的边长为3，
分别是
平面的余弦值.
边上的点，满足
，连接
(如图2)．
(如图
11．已知正三角形1)．将
折起到的位置，使平面
答案第3页，总31页
(1)求证：(2)求二面角12．四棱锥
平面 ； 的余弦值．
中，底面是平行四边形，侧面底面，，是等边三角形.
（I）证明：（II）若13．在几何体形，
；
，求二面角
中，底面
为菱形，，面
面
. 的余弦值 .
，
与
相交于点，四边形
为直角梯
（1）证明：面（2）求二面角14．如图，四棱锥
面；
的余弦值.
中，底面ABCD是正方形，平面
平面ABCD，平面
平面ABCD．
Ⅰ证明：Ⅱ若二面角
平面ABCD；
的大小为
，求PB与平面PAD所成角的大小．
第4页，总31页
15．如图所示的几何体中，
．
为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，
（1）若，求证：平面；
（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，点F为棱PD的中点．
（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；
（2）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角． 17．如图，在多面体
.
（1）求
与平面
所成角的大小； 的大小.
中，
、
、
均垂直于平面
，
，
，
，
（2）求二面角
18．如图，半圆柱中，平面过上下底面的圆心，，点，分别在半圆弧，上且.
答案第5页，总31页
（1）求证：（2）若
平面； ，求二面角
中,
的余弦值. ,为
的中点. 将
沿
折起,使得平面
平面
.
19．如图,已知长方形
(1)求证:(2)点是线段
.
上的一动点,当二面角
中，四边形
大小为时,试确定点的位置. 是边长为8的菱形，
，
是等边三角形，二面角
20．如图，在四棱锥的余弦值为.
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求直线
； 与平面
夹角的正弦值.
中，已知上的点.
，且
.将梯形
沿直线
折起，使
平
21．如图1，在边长为3的菱形面
，如图2，
分别是
（1）若平面平面，求的长；
第6页，总31页
（2）是否存在点，使直线22．如图①，在等腰梯形四边形
沿
折起,使平面
与平面中，
平面
所成的角是，，分别为
？若存在，求出，
的中点，
的值；若不存在，请说明理由.
，为
中点现将
，得到如图②所示的多面体在图②中，
（1）证明：（2）求二面角23．如图，正方形位置，使平面
；
的余弦值。
的边长为2，，分别为平面
．
的中点，
与
交于点，将
沿
折起到
的
（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求二面角
平面
；
的余弦值；
（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
24．如图所示，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PA⊥AB，连接PB，PC．
（1）求证：AD∥面PBC；
答案第7页，总31页
（2）求二面角A-CD-P的余弦值． 25．如图，直三棱柱
中，点是棱
的中点.
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若
平面，
；
，在棱
上是否存在点，使二面角
的大小为
，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由. 26．已知在四棱锥分别是（1）求证：（2）求平面（3）线段说明理由.
与平面
中，底面的中点。
；
所成锐二面角的大小；
与平面
所成角为，若存在，求线段
的长度，若不存在，
是边长为的正方形，
是正三角形，
，
上是否存在一个动点，使得直线
27．如图所示，底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=PD中点．
(1)求证：EO//平面PBC；
(2)设线段BC上点F满足CF=2BF，求锐二面角E－OF－C的余弦值．
，AC与BD相交于点O，E为
第8页，总31页
28．已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示,AB丄BC，AB//CD，且AB=2CD。将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB丄平面BEC。
(1)求证:平面ABE丄平面ADE；
(2)若AB=BC,求二面角A-DE-B的余弦值. 29．如图，四边形ABCD是菱形，
平面ABCD，
，
平面BDE，G是AB中点．
求证：若
平面BCF； ，
，求二面角
的余弦值．
30．如图，已知四边形使得
（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求平面
，为
平面与平面
满足的中点.
；
，，是的中点，将沿翻折成，
所成锐二面角的余弦值.
答案第9页，总31页
31．如图，四棱锥为
的中点，为
的底面是直角梯形，的中点.
，，和是两个边长为2的正三角形，，
（1）证明：（2）在线段
平面.
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出点的位置；若不存
上是否存在一点，使直线
在，说明理由. 32．如图，四棱锥的中点．
中，
底面
，
，
，
，
，点为棱
（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求二面角
平面； 的余弦值．
中，底面
是等腰梯形，
，顶点
在底面
33．如图，在四棱柱
上的射影恰为点．
第10页，总31页
(1)求证：平面(2)若直线
与底面
平面
成
； 角，求二面角中,底面
的余弦值．
是矩形,
是
的中点,是棱
上
34．如图,三棱柱的点,且（1）证明：（2）若
. 平面,求二面角
是等边三角形,侧面
；
的余弦值.
35．如图，在三棱锥上且
.
中，，，，，分别是，的中点，在
（I）求证：（II）求直线（III）在线段由. 36．在四棱锥
与平面
；
所成角的正弦值；
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理
上是否存在点，使二面角
中，底面ABCD是边长为6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA
上的一个动点，E为PD的中点．
答案第11页，总31页
Ⅰ求证：Ⅱ若
．
．
求PC与平面BDF所成角的正弦值；
侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由． 37．在直角梯形位置，使
中，，点在
上，且
，
，
，如图2．
，为
的中点，如图将
沿
折到
的
平面BDF，若存在，
求证：求二面角在线段
平面； 的正切值；
上是否存在点，使
中，底面
平面？若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由． 为菱形，且∠DAB＝60°，平面
平面
，点E为BC中点，点
38．如图，在棱锥P－F满足
。
（1）求证：（2）求二面角
平面； 的余弦值。
第12页，总31页
39．在四棱锥中，四边形为菱形，且，，分别为棱，的中点．
（1）求证：（2）若
平面
平面
，
；
，求平面中，
底面
与平面
，
所成二面角的正弦值．
，
，
，点，分别为
与
40．如图，在三棱柱的中点.
（1）证明：（2）求
平面.
所成角的正弦值. 中，底面
为直角梯形，
，
，
，
.
与平面
41．在四棱锥
（1）若（2）若平面42．如图，在四棱锥
，平面
，求证：平面
平面；
的余弦值.
为等腰梯形，
，其中点在以
为直径的圆上，
，
，
，求二面角中，底面平面
.
答案第13页，总31页
（1）证明：（2）求二面角
平面. 的正弦值.
中，底面
为菱形，
，
，为线段
的中点，为线段
上的
43．如图，在四棱锥一点.
（1）证明：平面（2）若
44．如图，在多面体
，
平面.
的余弦值为，求与平行四边形
与平面
所成角的正弦值.
，
，
，
，二面角
中，梯形.
所在平面互相垂直，
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角（Ⅲ）判断线段
平面； 的余弦值；
上是否存在点，使得平面
中，平面，
．
平面
平面？若存在，求 出的值，若不存在，说明理由．
为梯形，且
，
45．如图，在多面体
，
．四边形为正方形，四边形
第14页，总31页
(1)求证：(2)求直线(3)线段
； 与平面
所成角的正弦值；
平面
若存在，求外的一个动点，
的值；若不存在，请说明理由． 垂直于半圆所在的平面，
，
上是否存在点，使得直线
46．如图，
,
是半圆的直径，是半圆上除
。
证明：平面平面;
的余弦值.
中，动点在线段
上运动，且有
.
当点为半圆的中点时，求二面角47．如图，在棱长为1的正方体
（1）若，求证：；
的平面角的余弦值为的边长为2，
，求实数的值. ，点为，
中点，现以线段
为折痕将菱形折起使得点到达点
（2）若二面角48．如图所示，菱形的位置且平面
平面，点，分别为的中点.
答案第15页，总31页
（1）求证：平面（2）求平面
平面；
与平面所成锐二面角的余弦值.
中，
，
，
，
与
相交于点，为
49．如图所示，底面为正方形的四棱锥中点.
（1）求证：（2）设线段50．在三棱柱
平面上点满足
；
，求锐二面角
平面
的余弦值. ，
，
，
中，平面
证明：求直线
； 与平面
所成角的正弦值． 中，平面
，
．
底面ABC，四边形
是正方形，
，Q是
的
51．如图，在几何体中点，且
求证：求二面角
52．已知四棱锥
平面； 的余弦值．
的底面是等腰梯形，，，，，
第16页，总31页
.
（Ⅰ）证明：平面平面（Ⅱ）点是棱上一点，且53．如图，已知点在圆柱
； 平面
，求二面角的余弦值.
的底面圆上，为圆的直径．
（1）若圆柱果）； （2）若圆柱
的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结
的轴截面是边长为2的正方形，四面体
中，
等边三角形，
的外接球为球，求，以
为折痕将
两点在球上的球面距离．
平面
．
54．如图，在平面四边形折起，使得平面
（1）设为（2）若
的中点，求证：平面；
的余弦值．
，
的中点，
，
.
与平面所成角的正切值为，求二面角
中，
分别为
55．如图，在直三棱柱
（1）求证：（2）若直线
； 和平面
所成角的正弦值等于
，
，求二面角
的正弦值.
将
和
56．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，E，F为AB的三等分点，且
分别沿DE、CF折起到A、B两点重合，记为点P．
答案第17页，总31页
证明：平面若
平面PEF；
，求PD与平面PFC所成角的正弦值．
57．如图在棱锥中，为矩形，面，
（1）在上是否存在一点，使
中点时，求二面角
面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由； 的余弦值.
，是
的中点，
.
（2）当为
58．如图，四棱锥的底面是平行四边形，
（1）求证：（2）若面
平面
，
；
，点在侧棱
上，且
，二面角
的大小为，求直线
与平
所成角的正弦值.
59．如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示． （1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；
（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．
第18页，总31页
60．如图，平面四边形ABCD，置．
，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位
Ⅰ证明：面ABC；
的大小．
中，
，平面
平面
，
，且
.
Ⅱ若E为AD中点，求二面角61．如图所示，在四面体
（1）证明：（2）设为棱
平面；
的体积取得最大值时，求二面角中，矩形，
.
所在平面与直角梯形
的余弦值. 所在平面垂直，
，
，
的中点，当四面体
62．如图所示，在多面体为
的中点，且
答案第19页，总31页
（1）求证：（2）求直线
平面与平面
；
所成角的正弦值. 中，
.
，
，
，
，
，为
的中点，
63．已知平面多边形现将
沿
折起，使
（1）证明：（2）求直线
平面与平面
；
所成角的正弦值. 中，
，，为线段
，的中点，且
，
平面
，将.
沿
折起到
的位
64．如图①，在五边形置，得到如图②所示的四棱锥
（1）求证：（2）若直线
与
平面.
与平面
所成角的正弦值.
上，
，
，
，
，
所成角的正切值为，求直线
，点在底面.
65．如图三棱柱上的投影在线段
（1）证明：；
第20页，总31页
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为中，是棱
，求.
平面
，
，
，
66．如图，四棱柱
.
上的一点，
（1）若是（2）若
的中点，证明：平面
，求平面
与平面中，
平面；
所成锐二面角的余弦值.
，
，
分别为
、
的中点.
67．如图，直三棱柱
（1）证明：（2）已知68．在四棱锥
,
平面与平面
； 所成的角为中，底面
, 平面
，求二面角是平行四边形，分别为；
与平面
所成锐二面角的余弦值；
所成角的正弦值为，为
的中点，
，求的值.
，
，
，
.
的中点，点在线段
的余弦值.
，侧面上.
底面
，
（Ⅰ）求证：直线（Ⅱ）若为（Ⅲ）设
的中点，求平面
，当为何值时，直线
中，
与平面平面
69．如图，在三棱柱
答案第21页，总31页
（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求直线
平面与平面
；
所成角的正弦值. 的底面
是矩形，侧面
是正三角形，
，
，
.
70．如图所示，四棱锥
（1）求证：平面（2）若为
平面；
的大小. ，
，
．
，E为AB的中点将
沿CE折起，
中点，求二面角
71．如图，在直角梯形ABCD中，
使点B到达点F的位置，且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为求证：平面
平面AEF；
求直线DF与平面CEF所成角的正弦值．
72．如图，在四棱锥中，与交于点，，，.
（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；
第22页，总31页
（Ⅱ）若，，中，
，求二面角的余弦值. ，点
分别为棱
的中点．
73．如图，在直三棱柱
（1）求证：（2）求证：平面（3）在线段
平面； 平面
；
与平面
所成的角为
?如果存在，求出线段
的长；如果不
上是否存在一点，使得直线
存在，说明理由． 74．如图，已知正三棱柱
，
，、分别为
、
的中点，点为线段
上一点，
（1）求证：（2）若
平面；
的余弦值.
，求二面角
75．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2．
(1)证明：平面ADEF⊥平面ABF．
(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，二面角A-BC-E为30°，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求异面直线OC与DF所成角的余弦值
答案第23页，总31页
76．如图，等腰梯形且
与平面
中,,为．
的三等分点，以为折痕把△折起，使点 到达点的位置，
所成角的正切值为
平面
；
（1）证明:平面（2）求二面角
的余弦值．
77．如图，在六面体中，平面.
平面，平面，，，且
（1）求证：（2）求二面角
平面； 的余弦值.
中，平面
侧面
，且
．
78．如图，在直三棱柱
（1）求证：（2）若直线
； 与平面
所成角的大小为中，
底面
，求锐二面角，
为直角，
的大小． ，
，、分别为
、
79．如图，在四棱锥的中点.
第24页，总31页
（I）证明：平面（II）设80．如图，四边形
上任意一点.
平面；
的平面角大于
，
，求的取值范围. 平面
，
，
，点是线段
，且二面角是边长为2的菱形，且
（1）证明：平面（2）若
平面；
的体积. 分别是
的中点，点在
上，且
.将
的最大值是，求三棱锥
中，点
81．如图，在边长为的正方形分别沿
折叠，使
点重合于点，如图所示.
试判断求二面角
与平面的位置关系，并给出证明； 的余弦值. 的对角线
与
相交于点，
平面
，四边形
为平行四边形.
82．如图，菱形
答案第25页，总31页
（1）求证：平面（2）若
83．如图，四边形
，
平面； ，点在线段
上，且
，求平面
与平面
所成角的正弦值.
与四边形均为菱形，
（1）求证：（2）求直线
； 与平面
所成角的正弦值. 中，平面
平面
，
是边长为2的等边三角形，底面
是菱形，
84．如图，在四棱锥且
．
证明：求平面
； 与平面
所成二面角的大小．
中，
平面
，
，
，
，为
的中点.
85．如图所示，四棱锥
（1）证明：平面；
第26页，总31页
（2）设二面角86．如图所示的三棱柱上存在点使得
为，，中，
，求四棱锥平面
，
，
的体积.
，
的中点为，若线段
平面.
（Ⅰ）求；
的余弦值.
中，底面
所成角的正弦值；
平面
，试确定点M，N的位置． 是矩形，
平面
，AB 1，APAD2.
（Ⅱ）求二面角87．如图所示，在四棱锥（1）求直线
与平面
（2）若点M，N分别在AB，PC上，且
88．如图，在四棱锥中，交于点，，，底面．
求证：若
底面；
的距离．
,点为
的中点.
是边长为2的等边三角形，求点到平面
与矩形
89．如图所示，正方形所在平面互相垂直，
答案第27页，总31页
（1）求证： 平面；
（2）设在线段90．如图，是以是
上存在点，使二面角为直径的圆 上异于
的大小为，求此时的长及点到平面的距离. ,，
的点，平面 的交线为直线 ．
平面 ， 分别
的中点，记平面
平面
与平面
；
（Ⅰ）求证：直线
（Ⅱ）直线上是否存在点，使直线在，请说明理由．
分别与平面、直线 所成的角互余？若存在，求出的值；若不存
91．如图，四棱锥
.
的底面是菱形，底面，分别是的中点，，，
（I）证明：（II）求直线
； 与平面
所成角的正弦值；
第28页，总31页
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.
的中点，联结EF、
、
、
E、
E、
92．已知正方体E.
的棱长为4，E、F分别是棱AB、
求三棱锥求直线
与平面
的体积；
所成角的大小结果用反三角函数值表示． 中，
.
93．如图，三棱锥
（1）求证：（2）若
；
，求直线
与平面
，
所成角的正弦值．
，是
的中点．
94．如图，在直三棱柱中，
（I）求证：平面（II）若异面直线95．如图，在三棱台
平面与
；
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
，侧面
所成角为中，底面
是边长为的等边三角形，上、下底面的面积之比为
答案第29页，总31页
底面，并且.
（1）平面（2）求平面
平面与平面
，证明：；
所成二面角的正弦值. 中，已知四边形
是边长为的体积为．
的正方形，点是
的中点，点在底面
上的
96．如图，在四棱锥射影为点，点在棱
上，且四棱锥
（Ⅰ）若点是（Ⅱ）若
的中点，求证：平面，且二面角
中，平面
平面的余弦值为
；
，求的值．
，
，
，
．
97．如图，在四棱锥平面BCDE，
求证：平面ABC；
求平面ABE与平面ADC所成二面角大小的余弦值． 98．如图，已知正方体
的棱长为1．
正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
第30页，总31页
若M，N分别是
99．如图，在四边形
，中，
的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．
，与平面
，点在所成的角为
上，且，
，
，现将
沿
折起，使点到达点的位置，且
（1）求证：平面（2）求二面角100．如图，正四棱柱
平面；
的余弦值.
中，
，点在
上且
.
（1）证明：（2）求二面角
平面； 的余弦值.
答案第31页，总31页
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