2021年山东省淄博市中考数学真题及答案
一．选择题（共12小题）
1．下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（ B ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（ C ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称 沸点/℃
液态氧 ﹣183
液态氢 ﹣253
液态氮 ﹣196
液态氦 ﹣268.9
则沸点最高的液体是（ A ）
A．液态氧B．液态氢C．液态氮D．液态氦
4．经过4.6亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将4.6亿用科学记数法表示为（ D ）
A．4.6×10B．0.46×10C．46×10D．4.6×10
5．小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（ B ）
9
9
8
8
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A．6，7B．7，7C．5，8D．7，8 6．设m＝
，则（ A ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ D ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
8．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，
EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ C ）
A．+＝B．+＝C．+＝D．+＝
9．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ D ）
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A．C．
﹣﹣
＝12B．＝12D．
2
﹣﹣
＝0.2 ＝0.2
10．已知二次函数y＝2x﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，
P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（C ）
A．1B．C．2D．4
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ A ）
A．B．
C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数
y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（ B ）
A．
B．
C．
D．12
二．填空题（共4小题） 13．若分式
有意义，则x的取值范围是x≠3的全体实数 ．
2
2
14．分解因式：3a+12a+12＝ 3（a+2）．
15．在直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位得到点A2，则A2的坐标为 （0，﹣2） ．
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16．对于任意实数a，抛物线y＝x+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 b≤﹣． 17两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 6
2
cm．
【答案】6
cm．
【解答】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′， ∵∠α＝30°，DE＝3cm， ∴CD＝2DE＝6cm， 同理：BC＝AD＝6cm，
由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形， ∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为
P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°， ∴∠A′BC＝90°， ∴A′C＝
＝
＝6
（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6故答案为6
cm，
cm．
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18先化简，再求值：（【答案】ab，2． 【解答】解：原式＝＝＝ab， 当a＝原式＝（＝3﹣1 ＝2．
19如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
+1，b＝+1）（
﹣1时， ﹣1）
•
•
﹣
）÷
，其中a＝
+1，b＝
﹣1．
【答案】（1）见证明； （2）∠BDE的度数为30°．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，
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∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40° ∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°， ∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD＝30°， 故∠BDE的度数为30°．
20如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b＜
的解集．
相交于A（﹣2，3），B（m，
【答案】（1）y1＝﹣x+1，（2）
；
；
（3）﹣2＜x＜0或x＞3．
【解答】解：（1）∵直线y1＝k1x+b与双曲线两点， ∴
，解得：k2＝﹣6，
相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）
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∴双曲线的表达式为：∴把B（m，﹣2）代入∴B（3，﹣2），
， ，得：
，解得：m＝3，
把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y1＝k1x+b得：，
解得：，
∴直线的表达式为：y1＝﹣x+1；
（2）过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图
∵BP∥x轴，
∴AD⊥x轴，BP⊥y轴， ∵A（﹣2，3），B（3，﹣2）， ∴BP＝3，AD＝3﹣（﹣2）＝5， ∴（3）
；
的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值，
故其解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．
21为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．
成绩等级
分数段
频数（人数）
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优秀 良好 较好 一般 较差
90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70
a b
12 10 3
x＜60
请根据统计图，表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）统计表中的a＝，b＝；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是 度； （2）补全上面的成绩条形统计图；
（3）若该校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数． 【答案】（1）50，25，90； （2）补图见解答； （3）1200．
【解答】解：（1）抽取的总人数有：10÷
＝100（人），
a＝100×50%＝50（人），
b＝100﹣50﹣12﹣10﹣3＝25（人），
成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是：360°×故答案为：50，25，90；
（2）根据（1）补图如下：
＝90°．
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（3）1600×
＝1200（人），
答：估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数有1200人．
22为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序
计算结果（已解答过程中可直取近似值） 接使用表格中的1.18
1.39
1.64
数据哟！
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由． 【答案】（1）18%；
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元．
【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，利用今年第一季度产值＝去年第三季度产值×（1+增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的
2
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值即可得出结论；
（2）将今年四个季度的产值相加，即可求出该公司今年总产值，再将其与1.6亿元比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x， 依题意得：2300（1+x）＝3200，
解得：x1＝0.18＝18%，x2＝﹣2.18（不合题意，舍去）． 答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%． （2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下： 3200+3200×（1+18%）+3200×（1+18%）+3200×（1+18%） ＝3200+3200×1.18+3200×1.39+3200×1.64 ＝3200+3776+4448+5248 ＝16672（万元）， 1.6亿元＝16000万元， ∵16672＞16000，
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元．
23已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
2
3
2
（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式． 【答案】（1）证明见解析部分． （2）45°．
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（3）y＝（0≤x≤2）．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠APD＝90°，
∴∠PAD+∠ADE＝90°，∠PAD+∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴BF＝AE．
（2）解：如图2中，连接AQ，CQ．
∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°， ∵BQ＝BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS）， ∴QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB， ∵EQ垂直平分线段AF，
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∴QA＝QF， ∴∠QFC＝∠QCF， ∴∠QFC＝∠BAQ， ∵∠QFC+∠BFQ＝180°， ∴∠BAQ+∠BFQ＝180°， ∴∠AQF+∠ABF＝180°， ∵∠ABF＝90°， ∴∠AQF＝90°， ∴∠AFQ＝∠FAQ＝45°．
（3）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．
∴ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°， ∵AF⊥EG， ∴∠APE＝90°，
∵∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠GET＝90°， ∴∠BAF＝∠GET， ∵∠ABF＝∠ETG，AB＝ET， ∴△ABF≌△ETG（ASA）， ∴BF＝GT＝x， ∵AD∥CB，DG∥BE， ∴∴
＝
＝
，
＝，
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∴BE＝TC＝xy， ∵GT＝CG﹣CT， ∴x＝2﹣y﹣xy， ∴y＝
（0≤x≤2）．
2
24如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点
P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x+x+2； （2）（2，3）； （3）E的坐标为（
，
），F的坐标为（
，
）．
2
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∵OC＝2OA， ∴OC＝2，
∴C的坐标为（0，2），
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将点C代入抛物线y＝﹣x+得＝2，即m＝4，
2
•x+（m＞0），
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x+x+2； （2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，
2
由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x+x+2，m＝4， ∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2）， 设直线BC解析式为y＝kx+n， 则
，解得
，
2
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（m，﹣m+m+2）（0＜m＜4），则H（m，﹣m+2），
∴PH＝﹣m+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m+2m＝﹣（m﹣4m）＝﹣（m﹣2）+2， ∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC＝PH•|xB﹣xC|＝[﹣（m﹣2）+2]×4＝﹣（m﹣2）+4， ∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）； （3）存在，理由如下：
∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0）， ∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①， ∵抛物线的表达式为y＝﹣x+
2
2
2
2
2
2
2
2
•x+②，
联立①②解得，或，
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∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1）， ∵抛物线y＝﹣x+∴点F的横坐标为
2
•x+的对称轴为直线x＝，
2
，
设E的坐标为（t，﹣t+•t+），
①若BG为边且E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，
∵∠GBF＝90°， ∴∠OBG＝∠BFH， ∴tan∠OBG＝tan∠BFH＝∴
＝，
＝，
解得：t＝3或m，
∴E的坐标为（3，2m﹣6）， 由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标， ∵EF∥BG且EF＝BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位， 得：到F的横坐标为3+m+3＝m+5， 这与点F的横坐标为
矛盾，所以此种情况不存在，
②若BG为边且E在x轴下方，
同理可得，E的坐标为（3，2m﹣6），所以此种情况也不存在，
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②若BG为对角线， 设BG的中点为M， 则M的坐标为（
，
），
∴M恰好在抛物线对称轴上， ∵F在抛物线对称轴上，
∴E必然在对称轴与抛物线的交点，即抛物线顶点， 将x＝
代入抛物线得，
，
），
E的坐标为（
∵∠BEG＝90°，M为BG中点， ∴EM＝
，
∴解得：m＝∵m＞0， ∴m＝
，
，，，
，
）， ）， ），
或
，
，
即E的坐标为（∴M的坐标为（
F的坐标为（
综上，E的坐标为（），F的坐标为（
，）．
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