高中数学必修五第二章《数列》知识点相关

【本章目标】①了解数列的通项公式、前n项和的概念②掌握等差数列、等比数列的相关内容及性质③熟练掌握数列通项公式的求法④熟练掌握数列前n项和的求法⑤等差数列与等差数列的综合运用一、等差数列

（一）概念等差数列指的是从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即an1and其中，这个常数叫做这个等差数列的公差，用d来表示。等差数列常用AP表示。（二）通项公式关于等差数列的通项公式的推导，常用累加法：记数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可得：an1and那么可以写出：aad

n

n1

an1an2d...................a2a1d

上述n个式子累加，得ana1(n1)dana1(n1)d

所以等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d（三）性质①an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d②d

ana1anamn1nm③若m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

④等差中项：在两个数a，b中，插入一个数c，使得a，c，d三个数成等差数列，则c称为等差中项，有2c=a+b成立。与性质③类比，即若2m=p+q，则2am=ap+aq⑤若{an}为等差数列，那么{a2n}也为等差数列，公差为2d（四）前n项和n(a1an)n(n1)

Snad1等差数列的前n项和为n

22等差数列的前n项和的推导方法参考“高斯计算1加到100的方法”，即倒序相加法：Sna1a2a3...an1anSnanan1...a3a1a2两式相加，得：

2Sn(a1an)(a2an1)...(ana1)由等差数列的性质，上式可化为2Snn(a1an)即Sn

n(a1an)

2再由等差数列通项公式展开，可化简得到Snna1

n(n1)

d2

（五）等差数列前n相和Sn的常用性质n(n1)d2d2

Snadn(a)nAnBn，Snn11①若将Sn进一步拆分化简，可得222

是一个类似于不含有常数项的二次函数，可根据这个形式快速，简单的判断出等差数列的要素；②若Sn有最大值，那必定a1＞0，d＜0，在an≥0，an+1≤0时取得最大值；若Sn有最小值，那必定a1＜0，d＞0，在an≤0，an+1≥0时取得最小值；③设等差数列{an}的公差为d，前k项和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k···Smk-S(m-1)k也成等差数列，公差为k2dn(a1an)n(amanm1)

S④下标和相等有“等和”性质，即n

22

⑤若{an}、{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn

则有

anS2n1，证明如下：bnT2n1

n(a1a2n)

annanS22n1bnnbnn(b1b2n)T2n1

2二、等比数列

（一）概念an1q，等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，即an

其中，这个常数叫做这个等比数列的公比，用q来表示。等比数列常用GP表示。由等比数列的概念可知，公比q≠0且q≠1（q=0无意义，q=1时为常数列，没有研究的必要）；数列{an}中的任意一项ak≠0（二）通项公式等比数列的通项公式用累乘（积）法求解：a

记等比数列{an}的首项为a1，公比为q;则由定义有：n1q

an

aaa

同理可得：nq；n1q......2q

an1an2a1将上述n1个式子相乘，即anan1a··.......2=qn1，化简得：an1an2a1ann1

=q，即an=a1qn1a1

（三）性质①等比数列的公比q≠1且q≠0，数列中任意一项不为零anaqnm;qnmn②amam

③若m+n=p+q，那么aman=apaq

④等比中项在两个数a，b中，插入一个数G，使得a，G，d三个数成等比数列，则G称为等差中项，有G2=ab成立。与性质③类比，即若2m=p+q，则am2=apaq⑤若{an}为等比数列，那么{a2n}也为等比数列，公比为q2

（四）前n项和a1(1qn)a1an1

等比数列的前n项和为Sn

1q1q等差数列的前n项和的推导方法为错位相减（消）法：Sna1a2···an1an ①等式两边同乘以公比q，得qSnqa1qa2···qan1qan = a2a3···anan1 ②①-②得，(1q)Sna1an1

a1an1a1(1qn)

Sn(q1)

1q1q当公比q=1时，数列前n项和为:Snna1

（五）等比数列前n项和的常用性质①等比数列前n项和可以看成指数式与常数式的和，即Sn=A+Bqn，当A+B=0时，可以认为该数列为等比数列，此性质可以根据某个数列的前n项和快速判断出数列的性质；②设等比数列{an}的公比为q，前k项和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k···Smk-S(m-1)k也成等比数列，公比为qm

三、数列通项公式的求法

①观察法观察法，顾名思义，即观察这个数列的形式，类似于小学和初中学习的“找规律”【例1】已知数列{an}前几项a1=9，a2=99，a3=999，a4=9999······，试给出数列{an}的通项公式；解：观察数列的结构，可以得出a1=9=101-1；a2=99=102-1；a3=999=103-1····故an=10n-1②公式法即判断出数列{an}为等差数列，还是等比数列，然后根据等差数列或者等比数列的通项公式去进行求解；【例2】已知数列{an}满足an+1=an+1.且首项a1=1，求数列的通项公式；解：根据等差数列的定义可知，该数列为等差数列，首项a1=1，公差d=1∴an=a1+（n-1）d=n③累加法累加法求数列的通项公式是类比等差数列的通项公式推导出的，适用该方法的数列通常满足an+1=an+f(n)，当f(n)为一常数式时，该数列为等差数列，若不为常数项，则用累加法进行化简计算，一般方法如下：an1anf(n)an1anf(n)

同理anan1f(n1)an1an2f(n2)·························a2a1f(1)

对上述(n-1)个式子累加求和，得ana1f(i)

i1n1

ana1f(i)

i1

n1

(f(i)指的是f(1)到f(n1)的累加求和)

i1

n1

【例3】已知数列{an}满足an+1=an+n，且首项a1=1，求数列的通项公式；解：an+1=an+n，即an+1-an=n那么同理可写出：an-an-1=n-1an-1-an-2=n-2an-2-an-3=n-3·········a2-a1=1对上述（n-1）个式子累加，得ana1f(i)=1+2+3+···+(n-1)=

i1

n1

n(n1)2

ana1

n(n1)n(n1)

122

④累乘（积）法累乘（积）法求数列的通项公式是类比等比数列的通项公式推导出的，适用该方法的数列通常满足an+1=f(n)·an，当f(n)为一常数式时，该数列为等比数列，若不为常数项，则用累乘（积）法进行化简计算，一般方法如下：an1an·f(n)同理

an1

f(n)an

an

f(n1)an-1

an-1

f(n2)an-2

·························a2

f(1)a1

对上述(n-1)个式子累乘求积，得anan-1a2ann1

············==f(i)an-1an-2a1a1i1ana1·f(i)

i1n1

(f(i)指的是f(1)到f(n1)的累乘求积)

i1

n1

【例4】已知数列{an}满足an+1=an·2n，且首项a1=1，求数列的通项公式解：⑤构造法构造法是将数列满足的递推公式，经过一定的变形转化成等差数列或者等比数列的形式进行求解，一般用构造法求解的数列满足如下关系：an+1=kan+f(n)，其中，当f(n)为常数时，经过一次构造即可，若f(n)为一个与n有关的代数式时，其变形稍微复杂：（1）当f(n)为常数项时：an1kanb(k,b均为常数，且k1,b0)设an1k(an)

那么an1kan(k1)kanb(k1)b

an1kanbk1

即{an}为等比数列，其中首项为a1，公比为k，

【例5】已知数列{an}满足an+1=3an+2，且首项a1=1，求数列的通项公式；解：bk1

（2）当f(n)为与n有关的代数式时：an1kanf(n)(k,b均为常数，且k1)两边同除以f(n)，得

an1a

kn1f(n)f(n)an1kan1(其中f(n1)f(n))f(n)f(n1)

ank

此时，若1，那么{}即为等差数列

f(n1)k

若1，则仿照前面提到的“f(n)为常数的时候”进行构造

11

已知数列{a}满足aa，且首项a11，求数列的通项公式【例6】nn1nn2211

解：a

2na11an两边同除以n，得n11

11222n2n2nan12n1an1

2

此时，{2n1an}为等差数列，首项为1，公差为12n1an1(n1)nan

n

2n1n1



an

⑥前n项和与通项公式的关系一般来说，根据等差数列前n项和的定义可得，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，当n=1时，a1=S1；当n=1时不符合上述的an时，此数列的前n项和应写成分段的形式；【例7】已知数列{an}前n项和Sn=n2-n+1，且a1=1，求an；解：由题意得，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-n+1-（n-1）2+（n-1）-1=2n-1当n=1时，a1=1=2x1-1，符合an=2n-1综上所述：an=2n-1四、数列前n项和的求法

①公式法公式法即为判断该数列是什么类型的数列，然后根据等差（比）数列的前n项和的公式，带入首项、公差（比）即可②倒序相加法倒序相加法，类比与等差数列前n项和的推导方法，适用与该数列第一项和倒数第一项的和、第二项和倒数第二项的和、第三项和倒数第三项的和·····是相等的，或存在某种关系，这种方法适用于倒序相加法。【例7】解：③错位相减法错位相减法是数列前n项和求法中计算量最大，也是较难掌握的方法，一般来说，当一个数列由等差数列与等比数列的乘积组成，参考等比数列前n项和的求解过程，给出错位相减法的一般过程（如果对自己的计算结果担心出错的话，可以带入前几项验算）：【例8】已知数列{an}的通项公式为an=n·2n，求前n项和Sn解：④裂项相减（消）法裂项相减（消）法适用于数列的通项公式一般为分式，一般有以下常见裂项公式：，计前n项和为Sn，求证：Sn＜1【例9】已知数列{an}的通项公式an=

n(n1)

解：1

⑤分组求和法分组求和一般适用于多种类型的数列相加的复合数列，此时将复合数列拆分开成多个数列，然后分别用上述求和方法求和后再相加，此处不给出例题讲解；