回归系数的假设检验

回归系数的假设检验

前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。我们知道即使X、Y的总体回归系数为零，由于抽样误差，其样本回归系数b也不一定为零。因此需作是否为零的假设检验，可用方差分析或t检验。

.P(x, y) ˆ YY Y YY

----------------------------------- --------------Y Y X

应变量Y的平方和划分示意图

任一点P的纵坐标被回归直线与均数Y截成三段：

ˆ)，表示实测点P与回归直线的纵向距离，即实际值Y与估计第一段(YYˆ之差，称为剩余或残差。 值YˆY)，ˆ与均数Y之差，第二段(Y即Y估计值Y它与回归系数的大小有关。|b|ˆY)也越大，ˆY)亦为零，ˆ)=(YY),(Y(Y值越大，反之亦然。当b=0时，则(YYˆ)减小。 也就是回归直线不能使残差(YY1

-

第三段Y，是应变量Y的均数。

ˆy)与偏依变量y的总变异(yy)由y与x间存在直线关系所引起的变异(yˆ)两部分构成，即 差(yyˆy)(yyˆ) (yy)(y上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有

ˆy)(yyˆ)]2 (yy)2[(yˆy)2(yyˆ)22(yˆy)(yyˆ) (yˆabxyb(xx)，所以yˆyb(xx) 由于y于是

ˆy)(yyˆ)b(xx)(yyˆ) (y

b(xx)[(yy)b(xx)]

b(xx)(yy)b(xx)b(xx) =0 所以有

ˆy)2(yyˆ)2 (yy)2(yˆy)2(yy)2反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为SSy；(y反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，

ˆ)2反映了除y与x存在直线关系以外的原因，包括随机误差记为SSR；(yy所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。总变异SS总是由回归关系引起的SS回和与回归无关的其它各种因素产生的SS剩所构成。若回归直线与各实测点十分吻合，则SS回将明显大于SS剩，当全部实测值都在回归直线上时，SS总=SS回，SS剩=0，反之，若回归直线拟合不好，SS回相对较小，SS剩则相对增大。可见SS回/SS剩反映了回归的效果。

上式又可表示为：SSySSRSSr 这表明y的总平方和划分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应，

2

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y的总自由度dfy也划分为回归自由度dfR与离回归自由度dfr两部分，即

dfydfRdfr

在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即dfR1；y的总自由度dfyn1；离回归自由度dfrn2。于是：

离回归均方MSrSSr/dfr，回归均方MSRSSR/dfR

(1)、方差分析法： 具体计算如下： 1、 建立无效假设：

H0 ：β= 0， 即胆固醇与年龄之间无直线关系

H1 ：β≠0， 即胆固醇与年龄之间有直线关系 α= 0.05 2、计算

SS总=88.8081 df总=19

SS回=b l xy =0.141 (453.7385)=63.9771 df回=1

SS剩 = SS总 — SS 回 =88.8081-63.9771=24.8310 方差分析结果表

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df剩=18

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变异来源 总变异 回归 剩余 SS df MS F 88.8081 19 63.9771 1 63.9771 46.377 24.8310 18 1.3795 3、查表确定p值

F0.05(1,18) = 4.41 , F0.01(1,18) = 8.29 P<0.01 故按α= 0.05水准拒绝无效假设，接受备择假设。

4、结论：可以认为高血脂病人治疗前胆固醇与年龄由直线关系。

（2）、t检验

基本思想与样本均数与总体均数比较的t检验类似，而检验统计量t值的计算按下式完成：

t

b0bSbSyx/lxx df = n-2

本例 n =20，SS剩=1.3795 , lxx=3216.95, b=0.141

Syx24.8311.1745

2024

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Sb1.17450.0207

3216.95t0.1416.812

0.0207 按df = 18 ，查t界值表，t0.05(18) =2.101, t0.01(18) =2.878 ，按=0.05 水准，拒绝H0， 接受H1 ， 结论同上。

直线回归方程的应用

统计预测：

1、总体回归系数β的区间估计

根据参数估计原理，回归系数b是总体回归系数β的点估计，正像样本均数X不一定恰好等于总体均数一样，需要对总体回归系数β进行区间估计。

(bt(n2)Sb,bt(n2)Sb)

式中Sb为回归系数的标准误；n-2为自由度。 回归方程为y2.6610.141x

根据资料的样本回归系数b=0.141估计总体回归系数β的95%可信区间。 已知b=0.141, sb=0.0207, 20218, t0.05(18)=2.101 则总体回归系数β的95%可信区间为

(0.141-2.1010.0207, 0.141+2.1010.0207)=(0.0975,0.1977)

2、Yˆ的区间估计

ˆ的总体均数。对ˆ的估计可Yˆ 是指总体中自变量X为某一定值X0时，YY5

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计算可信区间：

ˆtˆ(Yˆ,Yt(n2)SYˆ) (n2)SYˆ的标准误，可按下式计算： 式中SYˆ即YSYˆSY.X(X0X)21 n(XX)2

式中SY.X为剩余标准差。当X0X时，SYˆSY.X/n，此时，可信区间的范围最窄，预测精度相对较高。

试计算当X0=50岁时，Yˆ的95%可信区间。 已知X39.45，(XX)23216.95, sy.x=1.175

ˆ=2.661+0.14150 = 9.71 Y1(5039.45)2SYˆ1.1750.3418(mmol/L)

203216.9520218,t0.05(18)=2.101

当X0=50时，Yˆ的95%可信区间为

（9.71-2.1010.3418,9.71+2.1010.3418）= ( 8.99, 10.43) mmol/L 即当年龄为50岁时，估计其胆固醇的的总体均数Yˆ在(8.99, 10.43)

mmol/L范围内的可能性为95%。

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12.0010.00胆固醇8.006.00R Sq 线性 = 0.7214.002030405060年龄

3、个体Y值的容许区间

总体中，X为一定值时，个体Y值的波动范围，可按下式求出：

ˆtˆ(Y(n2)SY,Yt(n2)SY)

式中SY为X取一定值时，个体Y值的标准差，其计算公式为

SYSY.X(X0X)211 n(XX)2试计算当X0=50时，个体Y值的95%容许区间。

ˆ=9.71，t0.05(18)=2.101，SY.X=1.175 已知 Y7

-

1(5039.45)2 SY1.17511.2230

203216.95故当X0=50岁时，个体Y值的95%容许区间为：

（9.71-2.1011.2230, 9.71+2.1011.2230）=(7.14, 12.28) mmol/L 即当年龄为50岁时，总体中有95%的个体Y值波动在(7.14，12.28)

mmol/L的范围内。 12.0010.00胆固醇8.006.00R Sq 线性 = 0.7214.002030405060年龄

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用回归方程进行统计控制

控制是指党要求Y值在一定的范围内波动时，如何通过控制X的范围来实现统计控制的目标, 所以统计控制是利用回归方程进行的逆估计。如：为使一名糖尿病人的血糖维持在正常范围（4.44－6.66mol/L），如何控制血中胰岛素水平？这可以对回归的逆运算来实现。

例如：资料已建立了有胰岛素估计血糖平均水平的直线回归方程，问：欲将血糖水平控制在正常范围的上限6.66mol/L以内时，血中胰岛素应维持在什么水平上？

已知Y18.7957－0.4585X， n20,sy1.6324，取α＝0.05，本例当

'个体y值取6.66mol/L 时的x值，故取单侧t0.05(18)=1.734，所得方程为：

‘ˆt6.66Y18.7957－0.4585）＋1.7341.6324＝21.62620.4585x0.05(18)SY＝（由此式解得x = 32.64(mu/L) , 即如要将一名糖尿病人的血糖控制在6.66mol/L以内，胰岛素水平可维持在32.64(mu/L)以上。

又例：某市环境监测站在某交通点连续测定30天，每天定时采样3次，发现大气中NO2浓度Y(mg/m3)与当时的汽车流量X(辆/小时)呈直线关系，根据90

对观测数据求得回归方程 Y0.0648660.000133X，剩余标准差syx0.032522。若NO2最大容许浓度为0.15mg/m3,则汽车流量应如何控制？

设=0.05。

本例

syx0.032522，=0.05，=90-2=88，查表得单侧t0.05(88)=1.6624。

由于本例未给出每小时汽车流量的均数及lxx，且样本含量较大，故以syx代替sy，

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计算个体Y值单侧95%容许区间的上限：

YuY1.6624syx0.0648660.000133x1.66240.0325220.000133x0.010801

当Y0.15时，解得X=1209，即只要把汽车流量控制在1209辆/小时以下，

那么就有95%可能使NO2不超过最大容许浓度0.15mg/m3。

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