一、选择题
1． 已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（ ） A．﹣a＞﹣b
B．a+c＜b+c
D．
C．（﹣a）2＞（﹣b）2
2． 已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
3． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（ ） A．38
B．20
C．10
D．9
4． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 5． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A．30 B．50 C．75 D．150
6． 在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ） A．
B．2
C．
或2
4D．2
7． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A．fx=x，gx44x4x24,gxx2 B．fx=x2C．fx1,gx1,x033 D．fx=x，gxx 1,x08． 为得到函数ysin2x的图象，可将函数ysin2x的图象（ ）
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个单位 62C.向右平移个单位 D．向右平移个单位
339． 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（ ）
A．向左平移
B．向左平移
A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
10．若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）
个单位 3
A．7 B．15 C．31 D．63
11．在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（ ） A．96
B．108 C．204 D．216
12．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A． B．4 C． D．2
二、填空题
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113．已知两个单位向量a,b满足：ab，向量2ab与的夹角为，则cos . 214．若全集
，集合
，则
。
2215．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
2
16．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为，，．若4Sabc， 则sinCcos(B17．函数f（x）=
4)取最大值时C ．
（x＞3）的最小值为 ．
，且|ω|=5
，则复数ω= ．
18．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=
三、解答题
19．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+的交点为Q，求线段PQ的长．
20．选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若
恒成立，求k的取值范围．
）=3
，射线OM：θ=
与圆C的交点为O，P，与直线l
（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极
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21．已知双曲线C：
与点P（1，2）．
（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程； 理由．
（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明
22．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池形附属设施矩形的一边
及其矩
，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，在直径上，点、、、在圆周上，、在边
，求
上，且
，设
．
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为（2）怎样设计才能符合园林局的要求？
的表达式；
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23．计算下列各式的值： （1）
22
（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）．
24．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
（n∈N）．
*
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城关区民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 故选C．
22
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）＞（﹣b），
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
2． 【答案】C
2222
【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，
求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=故直线和圆C相交， 故选：C．
＜=2，
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
3． 【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，
2
则am﹣1+am+1﹣am=am（2﹣am）=0，
解得：am=0或am=2， 若am等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）am=38不成立，故有am=2， ∴S2m﹣1=（2m﹣1）am=4m﹣2=38， 解得m=10． 故选C
4． 【答案】A.
【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 5． 【答案】B
【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5，
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则其体积V=故选B．
6． 【答案】C
S×h=30×5=50．
【解析】解：∵b=∴解得：a=
或2
，c=3，B=30°，
2
，整理可得：a﹣3
2222
∴由余弦定理b=a+c﹣2accosB，可得：3=9+a﹣3a+6=0，
．
故选：C．
7． 【答案】D111] 【解析】
考
点：相等函数的概念. 8． 【答案】C 【解析】
2sin2x的图象，故选试题分析：将函数ysin2x的图象向右平移个单位，得ysin2x3333C．
考点：图象的平移. 9． 【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6， ∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D
10．【答案】 D
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【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1
满足条件A≤5，B=3，A=2 满足条件A≤5，B=7，A=3 满足条件A≤5，B=15，A=4 满足条件A≤5，B=31，A=5 满足条件A≤5，B=63，A=6
不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63． 故选：D．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78， ∴3a2=﹣24，3a11=78，解得a2=﹣8，a11=26， ∴此数列前12项和=6×18=108， 故选B．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2故底面棱形的面积为侧棱为2故V=故选C
，则棱锥的高h=
=2
=2
=3
，2，底面边长为2 =
二、填空题
13．【答案】【解析】
27． 7第 8 页，共 15 页
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义ababcos；二是坐标运算公式abx1x2y1y2；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 14．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵
，∴
{|0＜＜1｝。
15．【答案】 x﹣y﹣2=0 ．
【解析】解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0， 故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
16．【答案】【解析】
4考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于
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难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式
111abcabsinC,ah,(abc)r,. 2224R17．【答案】 12 ．
【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0 由题意知：
=﹣
=t﹣3t2
令t=∈（0，），h（t）=
2
因为 h（t）=t﹣3t 的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；
故h（t）∈（0，由h（t）=
]
≥12
⇒f（x）=
故答案为：12
18．【答案】 ±（7﹣i） ．
．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ 又ω=
=．
=
，|ω|=
，∴
2
把a=3b代入化为b=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±
故答案为±（7﹣i）．
=±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）圆C的参数方程
22
（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）+y=1．
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把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3
可得普通方程：直线l，射线OM． 联立
，解得
，即Q
．
联立，解得或．
∴P．
∴|PQ|=
=2．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2 ∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． ∴当a≤0时，不合题意； 当a＞0时，，
∴a=2； （Ⅱ）记
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，射线OM：θ=
．
，∴h（x）=
∴|h（x）|≤1 ∵∴k≥1．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．… 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，
2222*
并整理得（2﹣k）x+2（k﹣2k）x﹣k+4k﹣6=0 （） 2
（ⅰ）当2﹣k=0，即k=±
恒成立，
…
*
时，方程（）有一个根，l与C有一个交点
所以l的方程为
2
（ⅱ）当2﹣k≠0，即k≠±
时
2222
△=[2（k﹣2k）]﹣4（2﹣k）（﹣k+4k﹣6）=16（3﹣2k），
①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点． 所以l的方程为3x﹣2y+1=0… 综上知：l的方程为x=1或
2222
则2x1﹣y1=2，2x2﹣y2=2，
或3x﹣2y+1=0…
（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），
两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）… 又∵x1+x2=2，y1+y2=4， ∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2） 即kAB=
=，…
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∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…
222
代入双曲线方程2x﹣y=2，可得，15y﹣48y+34=0，
由于判别式为48﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在． …
2
【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．
22．【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值
（2）要符合园林局的要求，只要由（1）知，令解得令当当所以当
时，时，时，，即
或
，
最小，
， （舍去），
是单调减函数， 是单调增函数，
取得最小值.
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答：当满足时，符合园林局要求.
23．【答案】
【解析】解：（1）
=…
=
=5…
（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2
=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2… =
．…
24．【答案】
【解析】解：（1）由an+1=，可得a2=
=
a3=
=
=
，
a4=
==．
（2）猜测an=
（n∈N*
）．下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边=a1=a， 右边=
=a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*
）时猜测成立，
即ak=
．
则当n=k+1时，ak+1=
=
第 14 页，共 15 页
，
=
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
*
由①，②可知，对任意n∈N都有an=
=
成立．
第 15 页，共 15 页
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