两端固支梁振动能量收集器的结构设计及优化

2018年2月

机械工程与自动化

MECHANICAL ENGINEERING &. AUTOMATION

No. 1Feb.

文章编号：1672-6413(2018)01-0001-03

两端固支梁振动能量收集器的结构设计及优化$

刘兵\\

虞梦琳\\

谷旺2，孔祥新2，崔岩1

(1.大连理工大学精密与特种加工教育部重点实验室，辽宁大连116024; 2.大连理工大学微纳米技术 及系统辽宁省重点实验室，辽宁大连 116024)

摘要：为优化压电振动能量收集器的结构，设计了两端固支梁型压电振动能量收集器，建立两端固支梁结构 的集中载荷力学模型，确定梁的变形情况，对比两端固支梁和悬臂梁结构的固有频率和最大应力，得出影响 两端固支梁结构优化的因素（固有频率/2增大，最大应力内减小通过绘制两种结构关于长度比b

和质

量比的等应力和等频率曲线，确定同时满足减小/2和增大％的区域，并利用ANSYS仿真验证了所推 导公式的正确性，实现了两端固支梁结构的优化。

关键词：两端固支梁；悬臂梁；最大应力；固有频率；振动能量收集器 中图分类号：TP391.7

文献标识码：A

〇引言

目前公布的MEMS压电振动能量收集器以悬臂 梁结构为主[1]。但悬臂梁式压电振动能量收集器的尺 寸较小(毫米级)[2]，结构简单，对复杂的振动环境适应 性较差，限制了其输出性能的提升[3]。针对悬臂梁的 尺寸和结构的局限性，很多学者设计了新型结构的能 量收集器，Cui Yan[4]等设计的能量收集器利用多副梁 结构增强了梁感知振动的能力，提高了输出电压。 Wen Zhiyu等[5]设计的能量收集器利用了共质量块的 阵列式结构，有效地提高了输出电压。李如春等[6]设 计的能量收集器利用之字形结构改变梁的振动特性， 进而提高输出电压。现有文献鲜有对其他支撑梁结构 的研究，两端固支梁结构不仅可以满足较大尺寸的设 计，还可以很好地适应复杂的振动环境。

本文设计一种厘米级、两端固支梁压电振动能量 收集器，对两端固支梁进行了力学分析，通过对比两端 固支梁与悬臂梁结构的振动特性，导出了两种结构关 于最大应力和固有频率的关系式，利用关系式确定了 两端固支梁结构的优化方法，并将公式计算值与 ANSYS软件的仿真值进行对比。

1

两端固支梁的结构设计及力学分析

结构设计

知振动时，固支梁随质量块振动，梁的上、下表面产生拉伸或压缩变形，PZT压电层随之发生正压电效应， 实现机械能向电能的转化。

Si3N4.

Pt/Ti*

\"pzt*

Pt/Ti*

\"sTS*

-压电单元 、上质量块 -下质量块 -固支梁-基座

Si

固支梁横截面

图1两端固支梁压电振动能量收集器结构

1.2力学分析

两端固支梁结构可简化为在质量块两侧受集中载 荷的力学模型，如图2(a)所示，Fm为质量块重力的一 半。由于两端固支梁左右对称，根据对称性原理，在小 变形不考虑轴力的影响下，两端固支梁的一半可简化 为悬臂梁，建立悬臂梁等效受力变形图，如图2(b)所 示，自由端受集中载荷力F和弯矩M&共同作用，F和M&都作用在梁末端，I为梁的横截面距根部的距离，Z为F的作用点距根部的长度，点A、点B和点C分别 为梁的根部、末端和中点，点以和点C7为梁变形后点 B和点C的位置。梁截面为矩形，宽为^厚为/i。

对于悬臂梁结构而言，如图2(b)所示，根据边界 条件，固定端A的转角和挠度均为零，在单独F作用 下，任意横截面上的弯矩方程和挠曲线方程为：

1.1

两端固支梁压电振动能量收集器的结构设计如图

1所示。两端固支梁由基座、固支梁、上质量块、下质 量块等组成。梁的横截面由6层材料组成。当基座感

*中央高校基础科研基金资助项目（DUT16TD20)收稿日期：2017-05-10;修订日期：2017-11-26

作者简介：刘兵（1989-)，男，山东菏泽人，在读硕士研究生，研究方向为微传感器与微执行器。

机械工程与自动化2018年第1期

M^FCl-x)(1) 7i = CI77(3Z — x) .

(2)

其中：£为梁的弹性模量d为梁的横截面惯性矩，1 =

M3/12。

Fa Fm(a)两端固支梁集中荷载力学模型

1

〇/ Bf

(b)悬臂梁等效受力变形图

图2两端固支梁力学分析模型

悬臂梁结构在单独M&作用下，任意横截面上的 弯矩方程和挠曲线方程为：

M^ = -FL/2 . (3)

7OT = -盖

Fix2. ⑷

对于两端固支梁结构，可通过叠加法计算其任意

横截面上的弯矩方程和挠曲线方程为：

M2 =M1 =F(Z—2x)/2 .

(5)72 = 7l+7in=Fx2m-2x)/l2EI .

(6)

通过式(6)的挠曲线方程可描述两端固支梁半边

变形情况，如图2(b)中ACTW所示，其中AC7段发生 拉伸变形，在段发生压缩变形。

2

两种梁振动特性的对比分析

为了提升能量收集器的输出性能，要求能量收集 器匹配环境中低频振源，并获得较大的应力来增强压 电层的压电效应，这就要求所设计的梁结构同时获得 较低的固有频率和较大的应力。悬臂梁和两端固支梁 结构集中载荷力学模型如图3所示，^为梁的横截面 距根部的距离。图3(a)中，R为悬臂梁质量块叫的 重力，为重力加速度）为梁距根部:c处 的弯矩，^为^的作用点距根部的长度。图3(b)中， F2为两端固支梁半边质量块m2的重力，F2=m2g， M2为梁距根部^处的弯矩，Z2为尺的作用点距同侧 根部的距离。其他尺寸和材料参数均相等。

图3两种结构的集中载荷力学模型

根据静位移法梁结构固有频率计算公式，对于一 个单自由度系统，其固有频率为：

fn =

2丌

(7)

其中：A为最大挠度。

将式(2)和式(6)分别代入式(7)，即得悬臂梁和两

端固支梁结构的固有频率A、/2:

fi=h 屁•(8)

丄

反

=丄

[Ebh^

J2 2W 72 2W m2l\\(9)

根据材料力学原理梁结构应力计算公式，梁上表 面的应力^为：

(jn=Mny/I . (10)

其中为弯矩以为厚度的一半，3； = /i/2。

将式(1)和式(5)分别代入式(10)，即得悬臂梁结构 的最大应力^和两端固支梁结构的最大应力A表达式：

Mxy _ Cm1g(L1 —x) (/i/2)) Qm1gl1丁= bh2/12bh2.(ID

M2y_ {rrh g{l—2x)/2) Qi/2) ) _ ?>m^ gl2

丁= bh2/12 = bh2.(12)

当m2 =叫，Z2 = ^，且都为定值时，联立式（8 )、 式(9)、式(11)和式(12)得两种结构的最大应力和固有 频率为：

2a2=al=Qmlgll/{bh2) . (13)/2 = 2/i = a/EM3/(4tt2m1 Zi) . (14)

由式(13)和式(14)知，为^的1/2倍，/2为 的2倍，两端固支梁结构/2和a2的取值都不利于能 量收集器的输出性能的提升。

为了达到减小/2和增大A的效果，本文提出了 以悬臂梁结构的^、力作为基准，通过推导出的两种 结构关于长度比^和质量比的等应力和等频率 公式，确定同时满足减小/2和增大A的区域。b和

无单位量纲。令叫和^均为定值，则：

Lp = l2/li . (15)Mp=m2/m1 . (16)

当/2=/i时，联立式(8)、式(9)、式(15)、式（16)， 即得两种结构关于b和的等频率公式：

Mp = i/Vp . (17)

当& = ^时，联立式（11)、式（12)、式（15)、 式(16)，即得两种结构关于和的等应力公式：

Mp = 2/Lp . (18)

通过式（17)和式（18)得到两条关于Lf和Mp的 关系曲线，如图4所示。式（17)和式（18)分别为等频 率线和等应力线，在两曲线上任意一点（M^LJ所对 应的^、叫和Z2、m2的取值，都使得两种结构的固有频率或最大应力相等。两条曲线交点坐标为（#， #)，此点处两种结构的最大应力和固有频率均相等。

图4等频率线和等应力线

2018年第1期刘兵，等：两端固支梁振动能量收集器的结构设计及优化

两条曲线将整个坐标系分成四个区域，在不同区 域，/2和A相对于点(#，#)有不同的变化趋势，图

中“个”代表“增大”，“ I ”代表“减小”。“/2 I A个”区 域，同时满足/2减小和A增大，有利于能量收集器输 出性能的提升。

3

仿真分析

1%。通过计算值和仿真值相对误差对比，验证了关于 /2、^优化方法的可行性，为两端固支梁结构的优化 提供了指导。

表3

名称悬臂梁两端固支梁

仿真结果、公式计算结果和相对误差3数值表

仿真公式

8。%MPa

3. 233.250. 62

MPa

3.223.220

/仿真

/公式

Hz

245.82251. 762.42

Hz

247.27247. 250. 01

%0. 591. 79

利用ANSYS有限元仿真软件对悬臂梁和两端固

支梁结构进行建模仿真，求解两种结构的最大应力和 固有频率，并与两种结构的公式计算结果进行对比。 根据图3和式(8)、式(9)、式(11)、式(12)的参数，对两 种结构的尺寸进行设置，两种结构的尺寸如表1所示。 两种结构质量块的参数如表2所示。

表1

参数参数值(mm)

0. 310. 92

4结束语

两种结构的尺寸

a\\h

4

<223. 5

h

2^2

b

2. 3

h

0. 025

0.875

本文对所设计的两端固支梁结构进行了力学分

析，确定了梁的变形情况。对比两端固支梁与悬臂梁结构的振动特性，通过所推导的两种结构关于^和

的等应力和等频率公式，可以确定同时实现减小/2和增大A的区域。并利用ANSYS仿真对应力和等频率公式进行了验证。结果表明：公式计算值和仿真值相对误差低于2. 42%，对/2、a2优化有利于能量收集器输出性能的提升。

参考文献：

表2

名称上质量块下质量块

两种结构质量块的参数

两端固支梁尺寸

悬臂梁尺寸

aXbXhCmm3)0. 875X1. 7572 X0. 80. 875X1. 7572 X0. 18

aXbXhCmm3)3. 5X3. 5X0. 83. 5X3. 5X0. 18

材料

NdFeB

Si

对上述两种结构的最大应力和固有频率进行仿真 计算，结果如图5所示。仿真值、公式计算值和相对误 差S见表3。

STEP=1SUB=1FREQ=：

.168 178 717 492 .143E+7 .215E+7 .287E+7

[1] 刘祥建，陈仁文.压电振动能量收集装置研究现状及发展

趋势[J].振动与冲击，2012,31(16) : 169-176.[2] Ma X K, Wilson A, Rahn C D, et al. Efficient energy

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[6] 李如春，征琦，施朝霞.微型之字形压电式能量收集器输

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3f、746曰 m.i79;+iwfiE+7.323E+7 (c)悬臂梁一阶固有频率 (a)悬臂梁静态应力分布 STEP=1

.....j 7

SUB=1

FREQ=251. 756

6.366 87 722 758 .145E+7 .217E+7 .289E+7

361 382 .108E+7 .181E+7 .253E+7 . 325E+7

(b)两端固支梁静态应力分布 （d)两端固支梁一阶固有频率

图5两种结构应力和固有频率仿真结果

表3中列举了两种结构的最大应力仿真值仏真、 最大应力公式计算值固有频率仿真值/!«、固有 频率公式计算值/&$，计算了公式计算值相对于仿真 值的相对误差先和〜，并计算了两端固支梁结构的仿 真值、计算值相对于悬臂梁结构的相应数值的相对误 差心其中先的最大值为〇. 92%、~的最大值为 1. 79% 3的最大值为2. 42%其他相对误差值均小于

，

629-634.

Structure Design and Optimization on Double-Clamp-Beamed

Piezoelectric Vibration Energy Collector

LIU Bing1, YU Meng-lin1 , GU Wang2, KONG Xiang-xin2, CUI Yan1

(1. Key Laboratory for Precision Non-traditional Machining of the Ministry of Education, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；

2. Key Laboratory for Micro/Nano Technology and System of Liaoning Province, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

Abstract： In order to optimize the structure of piezoelectric vibration energy harvester (PVEH), this paper designed a mechanical

model of a type of PVEH with double-ends clamped beams. With this model, the deformation of the beams could be determined. Comparing the natural frequency and maximum stress of the beams, the factors that affect structure optimization of the beams has been obtained (the natural frequency /2 increased and the maximum stress (J2 decreased). In addition, according to the iso-stress and iso-frequency curve of the length ratio LP and mass ratio MP related to the two structures, the range that /2 decreasing and (J2 increasing have been satisfied, and the derivated fomulas have been verified via ANSYS simulation. Hence, the optimization of the doubly clamped beams has been reached.Key words： doubly clamped beam； cantilever beam； maximum stress； natural frequency； vibration energy collector