几何法解空间角(学生版)

【题组一 线线角】

1．如图，在正四面体ABCD中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 .

2．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为等腰直角三角形，BAC90，AB2，AA13，点F在CC1上，且C1F1CC1，则异面直线B1C1与AF所成角为 . 33．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥PABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与

CE所成角的余弦值是 .

4．已知PABC为正三棱锥，则PA与BC所成角大小为 . 5．如图，S为等边三角形ABC所在平面外一点，且SASBSCAB，E,F分别为SC,AB的中点，则异面直线EF与AC所成的角为______.

6．如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，PAPBPCPDAB2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为___________

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7．如图，矩形ABCD中，AB2，BC1，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，使折起后平面ADE平面ABCE，则异面直线AE和CD所成的角的余弦值为__________．

【题组二 线面角】

1．如图，已知ABC是等腰三角形，且ACB120，AC2，点D是AB的中点将ACD沿CD折起，使得ACBC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为 .

2．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成的角的正切值为 .

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3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA底面ABCD.

（Ⅰ）证明：BDPC；

（Ⅰ）若BADBPA60，求直线PC与平面ABCD所成角的余弦值.

4．如图几何体中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PDAD2EC2.

（1）求证：BE//平面PDA； （2）求PA与平面PBD所成角的大小.

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5．如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，ACBC，且ACBC.

（1）求证：AM平面EBC；

（2）求直线EC与平面ABE所成角的正切值.

6．如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB ，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F 分别为AC，BP中点．

（1）求证：EF∥平面PCD；

（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

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7．已知四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，EDFBAB，M为棱AE的中点.

（1）求证：AE⊥平面CMF；

（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值.

8．如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面AEC平面CDE，

AEC90，F为DE中点，且DE1.

（1）求证：CDDE；

（2）求FC与平面ABCD所成角的正弦值.

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9．如图，在四棱锥中PABCD中，ADCD，AD//BC，AD2BC2CD4，PC25，PAD是正三角形.

（1）求证：CDPA；

（2）求AB与平面PCD所成角的余弦值.

10．已知四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PD1,PB3,PDAB，E为PC的中点．

（1）证明：ADPC；

（2）求直线AP与平面ADE所成角．

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【题组三 二面角】

1．如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2√3,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小

2𝜋

为 。

2．如图，在三棱锥ABCD中，ABD为等边三角形，BCBD，平面ABD平面BCD且BABC.

（1）求证：BCAD；

（2）求二面角ACDB的正切值.

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3．如图，在四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ABCD是边长为1的正方形．且SA1，点M是SD的中点．

（1）求证：SCAM；

（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小．

4．已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）求证：BD⊥AE

（2）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

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5．如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa,PAPC2a，求证：

（1）PD平面ABCD； （2）平面PAC平面PBD；

（3）二面角PBCD的平面角的大小.

6．如图所示，在棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，CD2AB2BC2AA14A1B1，

ABCBCD90

（1）求证：A1DBC1； （2）求二面角CA1DA的大小.

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7．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA底面ABCD.

（Ⅰ）证明：BDPC；

（Ⅰ）若BADBPA60，求二面角PCDA的余弦值.

8．如图，四边形ABCD是棱长为2的正方形．E为AD的中点，以CE为折痕把DEC折起，使点D到达点P的位置，且点P的射影O落在线段AC上．

（1）求

CO； AO（2）求二面角PCEA的余弦值．

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9．已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1底面ABC.

（1）求证：AC1BC；

（2）求平面AB1C1与平面ABC所成的锐二面角的大小.

10．已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,ABBC,ABAD1,BC2,又

PB平面ABCD,且PB1,点E在棱PD上且BEPD.

（1）求证:BEPC;

（2）求CP与平面PBD所成角的正弦值; （3）求二面角APDB的大小.

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