临海市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知||=3，||=1，与的夹角为

，那么|﹣4|等于（ ）

A．2 B． C． D．13

2． 直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

3． 已知命题p：∀x∈R，32x+1＞0，有命题q：0＜x＜2是log2x＜1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A．￢p B．p∧q C．p∧￢q

4． 已知平面向量与的夹角为

D．￢p∨q

，且|a2b|23，|b|1，则|a|（ ） 3A． B．3 C． D．

5． 已知a为常数，则使得A．a＞0

B．a＜0

成立的一个充分而不必要条件是（ ）

C．a＞e

D．a＜e

6． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7． 方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（ ） A．关于x轴对称

B．关于y轴对称

C．关于直线y=x轴对称

8． 抛物线x=﹣4y2的准线方程为（ ） A．y=1 B．y=

C．x=1 D．x=

ax－1，x≤1

a

D．关于直线y=﹣x轴对称



9． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

1A．－

43C．－

4

1B．－

25D．－

4

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10．已知an=

*

（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）

A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30

11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

3xy30y112．若x,y满足约束条件3xy30，则当取最大值时，xy的值为（ ）

x3y0A．1 B． C．3 D．3

二、填空题

13．已知数列{an}中，2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，a1=2，则b5= ．

14．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．

（0,1）15．当x时，函数fxe1的图象不在函数g(x)xax的下方，则实数a的取值范围是

x2___________．

【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．

16．函数fxlog2x在点A1,2处切线的斜率为 ▲ ．

三、解答题

17．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1 （Ⅰ）求f（x）在区间[0，

]上的最大值；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．

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18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc． （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）如果cosB=

19．（本题12分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，且2asinB3b．111] （1）求角A的大小；

（2）若a6，bc8，求ABC的面积． 20．

21．在ABC中已知2abc，sinAsinBsinC，试判断ABC的形状.

2，b=2，求a的值．

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22．（本题满分15分）

如图AB是圆O的直径，C是弧AB上一点，VC垂直圆O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点. （1）求证：DE平面VBC；

（2）若VCCA6，圆O的半径为5，求BE与平面BCD所成角的正弦值.

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

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临海市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

，

【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

=

．

即有|﹣4|==

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

2． 【答案】B

【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”， ∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题； ￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，

∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题． 故选：B．

3． 【答案】C

【解析】解：∵命题p：∀x∈R，3∴命题q为假， 故选：C．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，是一道基础题．

4． 【答案】C

2x+1

＞0，∴命题p为真，

由log2x＜1，解得：0＜x＜2，∴0＜x＜2是log2x＜1的充分必要条件，

考点：平面向量数量积的运算．

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5． 【答案】C

即a＞1，对应的集合是（1，+∞）

【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx

因此，不等式即

=lne﹣ln1=1

将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e 故选：C

【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．

6． 【答案】B 【解析】

考

点：空间直线与平面的位置关系．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．

7． 【答案】A

22222

【解析】解：方程x+2ax+y=0（a≠0）可化为（x+a）+y=a，圆心为（﹣a，0）， 22

∴方程x+2ax+y=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，

故选：A．

【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．

8． 【答案】D

2

【解析】解：抛物线x=﹣4y即为

y2=﹣x， 可得准线方程为x=故选：D．

．

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9． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

410．【答案】C 【解析】解：an=

图象如图， ∵9＜

＜10．

=1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C． 是基础题．

11．【答案】A

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，

【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，

取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，

故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选：A．

【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．

12．【答案】D 【

解

析

】

．

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考

点：简单线性规划．

二、填空题

13．【答案】 ﹣1054 ．

2

【解析】解：∵2an，an+1是方程x﹣3x+bn=0的两根， ∴2an+an+1=3，2anan+1=bn， 则b5=2×17×（﹣31）=1054． 故答案为：﹣1054．

∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．【答案】 4

【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，

故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成． 故答案为：4．

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15．【答案】[2e,)

1x2ex1x2ex【解析】由题意，知当x时，不等式e1xax，即a恒成立．令hx，（0,1）xxx1x1exxxx．令，．∵，∴h'xkxx1ek'x1ex0,1k'x1e0,∴kx2xx2在x0,1为递减，∴kxk00，∴h'xx1x1exx20，∴hx在x0,1为递增，∴

hxh12e，则a2e．

16．【答案】【解析】 试题分析：

1 ln2fx11kf1 xln2ln2考点：导数几何意义

【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

三、解答题

17．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

2

解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cosx﹣1

=sin2x+2×=sin2x+cos2x =

sin（2x+

]， ，=

﹣1 ），

∵x∈[0，∴2x+

∈[

]，

时，f（x）min=

sin（

+…6分 ）=1，

∴当2x+，即x=

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=∴sin（

+

）=

，

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∴∴B=

+=，

，

由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18．【答案】

222222

【解析】解：（Ⅰ）∵b+c=a+bc，即b+c﹣a=bc，

∴cosA=

又∵A∈（0，π）， ∴A=

；

=，

（Ⅱ）∵cosB=∴sinB=

，B∈（0，π）， =

，

由正弦定理=，得a===3．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．

19．【答案】（1）A【解析】

3；（2）SABC73. 3ba及2asinB3b，便可求出sinA，得到A的大小；（2）利sinBsinA1用（1）中所求A的大小，结合余弦定理求出bc的值，最后再用三角形面积公式求出SABCbcsinA值.

2ba3试题解析：（1）由2asinB3b及正弦定理，得sinA.…………分 sinBsinA2试题分析：（1）利用正弦定理因为A为锐角，所以A322222（2）由余弦定理abc2bccosA，得bcbc36，………………分

.………………分

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又bc8，所以bc所以SABC28，………………分 31128373.………………12分 bcsinA22323考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.

20．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．

【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可．

（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=求解数学期望即可．

【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1 解得a=0.03；

又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2； 则X～B（3，），

，P（X=3），列出分布列，

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X=0，1，2，3； P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=

×（）3=×（）2×=

； ；

；

×（）×（）2=×（）3=

，

∴X的分布列为： X 0 P 即E（X）=0×

1 =．

2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力

21．【答案】ABC为等边三角形． 【解析】

试题分析：由sinAsinBsinC，根据正弦定理得出abc，在结合2abc，可推理得到abc，即可可判定三角形的形状．

22考点：正弦定理；三角形形状的判定．

3146. 146【解析】（1）∵D，E分别为VA，VC的中点，∴DE//AC，…………2分 ∵AB为圆O的直径，∴ACBC，…………4分

22．【答案】（1）详见解析；（2）又∵VC圆O，∴VCAC，…………6分 ∴DEBC，DEVC，又∵VCBCC，∴DE面VBC；…………7分

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（2）设点E平面BCD的距离为d，由VDBCEVEBCD得DESBCE131dSBCD，解得3d32，…………12分 设BE与平面BCD所成角为，∵BCAB2AC28， 2d314622.…………15分 ，则sinBEBCCE73BE146

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