概率论上机实验报告

《概率论与数理统计应用》

实验报告

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班级： 学号： 姓名：

实验目的：

ａ．熟悉MATLAB的在概率计算方面的操作；

ｂ．掌握绘制常见分布的概率密度及分布函数图形等命令； ｃ．会用MABLAB求解关于概率论与数理统计的实际应用题 ｄ．提高数据分析的能力

实验题目与解答：

1.二项分布的泊松分布与正态分布的逼近 设 X ~ B(n，p) ，其中np=2

2

1) 对n=101,…,105,讨论用泊松分布逼近二项分布的误差。 画处逼近的图形

2) 对n=101,…,105, 计算 P(5X50)，P(20X90) 1）用二项分布计算 2）用泊松分布计算 3）用正态分布计算

比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣。 问题分析：

查询MATLAB函数库可知泊松分布概率密度函数为poissdpfk,lambda，泊松分布概率函数为poisscpfk,lambda。其中

poisspdf(k,)

kk!efloor(k)poisscdf(k,)ei0i

i!同时，二项分布概率密度函数为binopdfx,n,p ，二项分布概率分布函数为binocdfx,n,p。其中

nxnxbinopdfx,n,ppqI0,1,,nxxxnnibinocdfx,n,ppi1pI0,1,ii0

,ni正态分布概率分布函数为normcdfx,,，其中

3

normcdfx,,1e2x222

利用poissdpf,binopdf这两个函数，即可画出泊松分布和二项分布的概率密度曲线，设置变量

Er 表示在每一点处poissdpf,binopdf概率密度差值的绝对值，对Er 求平均值Aver，并计算方差

Var 。Var即为用泊松分布逼近二项分布的误差。

利用poisscpf,binocdf,normcdf这三个函数，可分别得出泊松分布，二项分布和正态分布在任一点k 的概率P0xk ，用泊松分布计算P5x50只需计算k50 和k5 时的概率之差即可，即

P5x50poisscdf50,lambdapossicdf5,lambda

实验内容：

1) N10,102,105时画出图像并计算误差

k = 0:20; N=10;p=0.2; lamda=n*p;

B = binopdf(k,n,p); P = poisspdf(k,lamda); Aver1=mean(abs(P-B)) Var1=var(abs(P-B)) subplot(2,3,1)

plot(k,B,'r',k,P,'b')

title('二项分布(red).泊松分布(blue) n=10') grid on

——————————————————————————————

4

k = 0:20; N=100;p=0.02; lamda=n*p;

B = binopdf(k,n,p); P = poisspdf(k,lamda); Aver2=mean(abs(P-B)) Var2=var(abs(P-B)) subplot(2,3,2)

plot(k,B,'r',k,P,'b') title('n=100') grid on

—————————————————————————————— k = 0:20; N=1000;p=0.002; lamda=n*p;

B = binopdf(k,n,p); P = poisspdf(k,lamda); Aver3=mean(abs(P-B)) Var3=var(abs(P-B)) subplot(2,3,3)

plot(k,B,'r',k,P,'b') title('n=1000') grid on

—————————————————————————————— k = 0:20;

5

N=10000;p=0.0002; lamda=n*p;

B = binopdf(k,n,p); P = poisspdf(k,lamda); Aver4=mean(abs(P-B)) Var4=var(abs(P-B)) subplot(2,3,4)

plot(k,B,'r',k,P,'b') title('n=10000') grid on

—————————————————————————————— k = 0:20;

N=100000;p=0.00002; lamda=n*p;

B = binopdf(k,n,p); P = poisspdf(k,lamda); Aver5=mean(abs(P-B)) Var5=var(abs(P-B)) subplot(2,3,5)

plot(k,B,'r',k,P,'b') title('n=100000') grid on

2) 计算泊松，二项，正态分布的P5x50,P20x90

lambda=2;

6

N=10; p=lambda/N; k=0:N;

——————————————————————

Pl=poisscdf(50,lambda); P2=poisscdf(5,lambda); P3=P2-P1

——————————————————————

B1=binocdf(5,N,p); B2=binocdf(50,N,p); B3=B2-B1

——————————————————————

N1=normcdf(5,p,N); N2=normcdf(50,p,N); N3=N2-N1

——————————————————————

实验结果及误差分析：

1)

7

误差如下所示：

n越大，泊松分布与二项分布的误差越小。

Aver

N10 0.0095

N102 9.05105

N103 9.03107

N104 9.02109

N105 9.021011

Var 1.36104 1.84107 1.891010 1.891013 1.891016

（2）泊松分布计算

表 1

N10 N102 N103 N104 N105

P5x50

0.0166 0.0166 0.0166 0.0166 0.0166

-15-15-15-15-156.11106.11106.11106.11106.1110 P20x90

8

二项分布计算

表 2

N10

0.0064

N102

0.0155

N103

0.0165

N104

0.0166

N105

P5x50 P20x90

正态分布计算

0.0166

0

8.8810-16 5.1110-15 6.0010-15 2.7710-13

表 3

N10 N102 N103 N104 N105

P5x50 P20x90

0.3156 0.1715 0.0179 0.0018 1.8010-4

0.239 0.2367 0.0279 0.0028

2.7910-4

二项分布就趋于参数为λ的泊松分布。如果Nplambda （如p是一个定值），则根据中心极限定理，二项分布将趋近于正态分布。

2. 正态分布的数值计算 设X～N(,2)；

1）当1.5,0.5时，计算 P{1.8X2.9}，P{2.5X}； 2）当1.5,0.5时,若P{Xx}0.95，求x；

3）分别绘制1,2,3，0.5 时的概率密度函数图形。

问题分析：

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用normcdfx,,函数即可求解。

1) 计算P{1.8X2.9}，只需计算normcdf2.9,, 和normcdf1.8,,差值即可。且

P{2.5X}P{X2.5}1P{X2.5}。

2) 当P{Xx}0.95，求x。使用norminvp,, 函数即可。 3) normpdfx,,得到概率密度，使用plot实验内容：

1)

F1=normcdf(2.9,1.5,0.5)-normcdf(1.8,1.5,0.5) F2=1-normcdf(2.5,1.5,0.5) 2)

x=norminv(0.95,1.5,0.5)

画出即可

3)

x=-2:4;

F=normpdf(x,1,0.5); plot(x,F); hold on; title('mu=1')

实验结果：

1)

P{1.8X2.9}0.2717P{2.5X}0.0228

2)

x2.3224 3) 概率密度图形

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正态分布曲线关于x=μ对称

3. 已知每百份报纸全部卖出可获利14元，卖不出去将赔8元，设报纸的需求量X的分布律为

X P 0 1 2 3 4 5 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10 试确定报纸的最佳购进量n。（要求使用计算机模拟）

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问题分析：

（k）)（k0,1,2,3,4,5）设Xk 为购进k百张报纸后赚得的钱，计算E(X，

1EXkNN

Xi

i当N足够大时，误差很小。

实验内容：

n=20000;

x=rand(n,1); for y=1:5; w=0; for i=1:n ; if x(i)<0.05 T=0; elseif x(i)<0.15 T=1 ; elseif x(i)<0.4 T=2 ; elseif x(i)<0.75 T=3 ; elseif x(i)<0.9 T=4; else T=5; end

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if y>T

w1=T*14-(y-T)*8; else

w1=y*14; end w=w1+w; end y w end 结果：y =1 w =257868 y =2 w =471296 y =3 w =575120 y =4 w =525054 y =5 w =408746

当y=3时收益最大，所以，最佳进购量n=300份时收益最佳。

4．蒲丰投针实验

取一张白纸，在上面画出多条间距为d的平行直线，取一长度为r（r13

1） 针与直线相交的概率。 2） 圆周率的近似值。 问题分析：

假设针长度lennd，则将针弯成一个圆后，无论怎样仍，针都会和直线相交两次。以当针长度lennd时，在投掷次数n够大时，相交次数m期望大致为2n。则在lennr时，当投掷次数n增大的时候，针与平行线相交的交点总数m应当与长度r成正比，即

k是比例系数，满足

故

mkr

2nkd

m2n2nr 即r ddm实验内容：

（1） clear a=1; l=0.6; counter=0; n=10000000;

x=unifrnd(0,a/2,1,n); phi=unifrnd(0,pi,1,n); for i=1:n

if x(i)14

end end

frequency=counter/n; disp('针与直线相交的概率') gailv=counter/n 结果：针与直线相交的概率 gailv =0.3819 （2） clear a=1; l=0.6; counter=0; n=10000000;

x=unifrnd(0,a/2,1,n); phi=unifrnd(0,pi,1,n); for i=1:n

if x(i)frequency=counter/n; disp('圆周率的近似值') frequency=counter/n;

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Pi=2*l/(a*frequency) 结果：圆周率的近似值 Pi =3.1406

实验总结与心得体会：

在平时的题目运算中，时常会遇到繁琐的计算，费时费力，而MATLAB提供了方便快捷的运算，大大地减少了题目的运算量，使我受益匪浅。

通过本次试验，我学习到多种MATLAB有关概率论和数理统计运算的指令，主要学习运用MATLAB绘制常见分布的概率密度及分布函数图形。熟悉了MATLAB的多种命令，并综合运用多种指令解决实际应用，十分方便准确快捷。在此次实验学习实践的过程中，加深了对本门课程和MATLAB的理解，也产生了对本学科更深的兴趣。相信在以后更多的实践中能够更加熟练地运用MATLAB解决实际问题，并继续深入学习。

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