人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 已知 𝑓(𝑥)+2𝑓(−𝑥)=3𝑥+1，则 𝑓(𝑥)= ( )
2. 下列函数中，满足“𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)”的单调递增函数是 ( )
3. 已知函数 𝑓(2𝑥+1)=3𝑥+2，且 𝑓(𝑎)=2，则 𝑎 的值为 ( )
lg𝑥,𝑥>0
4. 已知函数 𝑓(𝑥)={，则 𝑓(𝑓(−2))= ( )
𝑥+12,𝑥≤0
5. 函数 𝑦=
6. 在如图所示的三角形空地中，欲建一个如图所示的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园的面积的最大值为 ( )
12𝑥−1
A． −3𝑥+
3
1
B． −3𝑥 C． −3𝑥+1 D． −𝑥+
3
1
A． 𝑓(𝑥)=𝑥3 C． 𝑓(𝑥)=𝑥2
1
B． 𝑓(𝑥)=3𝑥 D． 𝑓(𝑥)=()
2
1𝑥
A． −1 B． 5 C． 1 D． 8
A． −3 B． 0 C． 1 D． −1
的定义域是 ( )
B． {𝑥∣ 𝑥≠0,𝑥∈𝐑} D． {𝑥∣ 𝑥≠2,𝑥∈𝐑}
1
A． {𝑥∣ 𝑥>2} C． {𝑥∣ 𝑥<2}
1
1
7. 如图是函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的图象，则函数 𝑓(𝑥) 的单调递减区间是 ( )
A． 120
B． 210
C． 225
D． 300
1
𝑥+5,𝑥>1
8. 已知 𝑓(𝑥)={2，则 𝑓[𝑓(1)]= ( )
2𝑥+1,𝑥≤1
9. 函数 𝑦=𝑥+1 的定义域是 ( )
10. 使函数 𝑦=(1−2𝑥)−4 有意义的 𝑥 的取值范围是 ( )
二、填空题（共6题）
11. 函数的三种主要表示方法为 ．
,𝑥≥1
12. 函数 𝑓(𝑥)={𝑥 的最大值为 ．
2
−𝑥+2,𝑥<1
13. 如图，函数 𝑓(𝑥) 的图象是曲线段 𝑂𝐴𝐵，其中点 𝑂，𝐴，𝐵 的坐标分别为 (0,0)，(1,2)，(3,1)，
则 𝑓(
1) 𝑓(3)1
3
A． (−1,0)
C． (−1,0)∪(1,+∞)
B． (1,+∞) D． (−1,0)，(1,+∞)
A． 3
1
B． 13 C． 8 D． 18
A． {𝑥∣ 𝑥≠0,𝑥∈𝐑}
C． {𝑥∣ 𝑥≠−1,𝑥∈𝐑}
B． (−1,+∞) D． 𝐑
A． 𝑥∈𝐑
B． 𝑥≠2
1
C． 𝑥>2
1
D． 𝑥<2
1
的值等于 ．
2
14. 下列说法中不正确的序号为 ．
①若函数 𝑓(𝑥)=
𝑎𝑥+3𝑥+3
在 𝑥∈(−3,+∞) 上单调递减，则实数 𝑎 的取值范围是 (−∞,1)；
②函数 𝑦=√𝑥2−1+√1−𝑥2 是偶函数，但不是奇函数；
③已知函数 𝑦=𝑓(2𝑥−1) 的定义域为 [−3,3]，则函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的定义域是 [−1,2]； ④若函数 𝑓(𝑥)=∣𝑥+1∣+2 在 (−∞,−1) 上单调递减，在 (−1,+∞) 上单调递增．
15. 函数 𝑦= 的单调递减区间是 ．
𝑥1
16. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥，若 𝑓(√𝑎)=2，则 𝑎 的值是 ．
三、解答题（共6题）
17. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+(2𝑎−1)𝑥−3．
(1) 当 𝑎=2，𝑥∈[−2,3] 时，求函数 𝑓(𝑥) 的值域；
(2) 若函数 𝑓(𝑥) 在 [−1,3] 上的最大值为 1，求实数 𝑎 的值．
18. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
图中，能否看出函数的最大、最小值？
19. 某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图 1），B产
品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图 2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）
3
(1) 分别将A，B两种产品的利润 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥) 表示为投资额 𝑥 的函数；
(2) 该团队已筹到 10 万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额
为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
−,𝑥∈(−∞,0)
20. 画出函数 𝑓(𝑥)={𝑥 的图象，并写出函数的单调区间．
2
𝑥+2𝑥−1,𝑥∈[0,+∞)
21. 请把相应的幂函数图象代号填入表格．
① 𝑦=𝑥3；② 𝑦=𝑥−2；③ 𝑦=𝑥2；④ 𝑦=𝑥−1； ⑤
532
1
2
𝑦=𝑥
13；⑥ 𝑦=𝑥
43；⑦ 𝑦=𝑥
−
12
；⑧ 𝑦=
函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧𝑥．
图象代号
22. 在某市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起参观了禁毒教育基地．如图所示的
是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生人数． 小明，你们班这次参观禁毒教育基地的男生、女生各多少人？
妈妈，我们班共有 55 人参观了禁毒教育基地，大家集合后，我看到除我之外的男生人数是女生人数的 1.5 倍还多 4 人．
4
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】A
【解析】 𝑓(𝑥)+2𝑓(−𝑥)=3𝑥+1, ⋯⋯①
𝑓(−𝑥)+2𝑓(𝑥)=3(−𝑥)+1, ⋯⋯②
② ×2− ①得：3𝑓(𝑥)=−6𝑥+2−3𝑥−1=−9𝑥+1， 所以 𝑓(𝑥)=−3𝑥+．
31
【知识点】函数的解析式的概念与求法
2. 【答案】B
【解析】本题考查函数的定义及函数的性质应用．依次判断各选项，易知 3𝑥+𝑦=3𝑥⋅3𝑦 且 𝑦=3𝑥 为增函数，B项符合条件，故选B． 【知识点】函数的单调性
3. 【答案】C
【知识点】函数的相关概念
4. 【答案】C
【解析】 𝑓(−2)=−2+12=10， 所以 𝑓(𝑓(−2))=𝑓(10)=lg10=1． 【知识点】分段函数
5. 【答案】D
【知识点】函数的定义域的概念与求法
6. 【答案】C
【解析】设矩形的长为 𝑥，宽为 𝑦，
则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，可得
𝑥30
30−𝑦30
=⇒𝑦=30−𝑥，
则矩形面积 𝑆=𝑥𝑦=𝑥(30−𝑥)=−(𝑥−15)2+225， 当矩形长 𝑥=15 时，面积 𝑆 最大，为 225． 【知识点】函数模型的综合应用
7. 【答案】D
【解析】若函数单调递减，则对应图象为下降的， 由图象知，函数在 (−1,0)，(1,+∞) 上分别下降， 则对应的单调递减区间为 (−1,0)，(1,+∞)． 【知识点】函数的单调性
5
8. 【答案】C
【解析】因为 𝑓(𝑥)={
𝑥+5,𝑥>1
，
2𝑥2+1,𝑥≤1
𝑓(1)=3，
所以 𝑓[𝑓(1)]=𝑓(3)=8． 故选C．
【知识点】分段函数
9. 【答案】C
【解析】由题意，𝑥+1≠0，解得 𝑥≠−1， 则函数 𝑦=
1𝑥+1
的定义域是 {𝑥∣ 𝑥≠−1,𝑥∈𝐑}．
【知识点】函数的定义域的概念与求法
10. 【答案】D
【解析】由已知得 1−2𝑥>0，则 𝑥<．
21
【知识点】幂函数及其性质
二、填空题（共6题）
11. 【答案】解析法、列表法、图象法
【知识点】函数的表示方法
12. 【答案】 2
【解析】当 𝑥≥1 时，函数 𝑓(𝑥)=𝑥 为减函数，所以在 𝑥=1 处取得最大值，最大值为 𝑓(1)=1；
当 𝑥<1 时，易知函数 𝑓(𝑥)=−𝑥2+2 在 𝑥=0 处取得最大值，最大值为 𝑓(0)=2． 故函数 𝑓(𝑥) 的最大值为 2．
【知识点】函数的最大（小）值、函数的单调性
13. 【答案】2
【解析】由图象知 𝑓(3)=1，𝑓(𝑓(3))=𝑓(1)=2． 【知识点】函数的表示方法
14. 【答案】②③
【解析】 𝑓(𝑥)=
𝑎𝑥+3𝑥+3
3−3𝑎𝑥+3
1
1
=𝑎+，若它在 (−∞,−3) 上递减，则 3−3𝑎>0，𝑎<1，①正确；
6
𝑦=√𝑥2−1+√1−𝑥2 的定义域是 {−1,1}，此时有 𝑦=0，它既是奇函数也是偶函数，②错； 若函数 𝑦=𝑓(2𝑥−1) 的定义域为 [−3,3]，即 −3≤𝑥≤3，则 −7≤2𝑥−1≤5，所以 𝑓(𝑥) 的定义域是 [−7,5]，③错；
函数 𝑓(𝑥)=∣𝑥+1∣+2 在 (−∞,−1) 上单调递减，在 (−1,+∞) 上单调递增，④正确． 不正确的有②③．
【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性
15. 【答案】 (−∞,0) 和 (0,+∞)
【知识点】函数的单调性
16. 【答案】 4
【解析】 𝑓(√𝑎)=(√𝑎)−√𝑎=2，即 (√𝑎−2)⋅(√𝑎+1)=0， 解得 √𝑎=2（负值舍去），即 𝑎=4． 【知识点】函数的相关概念
三、解答题（共6题） 17. 【答案】
(1) 当 𝑎=2 时，𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥−3，𝑥∈[−2,3]， 对称轴为 𝑥=−∈[−2,3]，
23
2
所以 𝑓(𝑥)min=𝑓(−2)=4−2−3=−4，𝑓(𝑥)max=𝑓(3)=15， 所以函数 𝑓(𝑥) 的值域为 [−
214
39921
,15]．
2𝑎−12
(2) 因为函数 𝑓(𝑥) 的对称轴为 𝑥=−①当 −
2𝑎−12
．
≤1，即 𝑎≥− 时，
2
1
𝑓(𝑥)max=𝑓(3)=6𝑎+3，
所以 6𝑎+3=1，即 𝑎=−3，满足题意； ②当 −
2𝑎−12
1
>1，即 𝑎<−2 时，𝑓(𝑥)max=𝑓(−1)=−2𝑎−1，
1
所以 −2𝑎−1=1，即 𝑎=−1，满足题意． 综上可知，𝑎=−3或−1．
【知识点】函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像
18. 【答案】图①中可以看出函数的最大值；图②中有两个函数最小值．
7
1
【知识点】函数的最大（小）值
19. 【答案】
(1) 𝑓(𝑥)=𝑘1𝑥，𝑔(𝑥)=𝑘2√𝑥，
𝑓(1)=0.25=𝑘1，𝑔(4)=2𝑘2=2.5，
所以 𝑓(𝑥)=0.25𝑥(𝑥≥0)，𝑔(𝑥)=1.25√𝑥(𝑥≥0)．
(2) 设B产品的投资额为 𝑥 万元，则A产品的投资额为 10−𝑥 万元． 𝑦=𝑓(10−𝑥)+𝑔(𝑥)=0.25(10−𝑥)+1.25√𝑥(0≤𝑥≤10)， 令 𝑡=√𝑥，则 𝑦=−0.25𝑡2+1.25𝑡+2.5，
所以当 𝑡=2.5，即 𝑥=6.25 万元时，收益最大，𝑦max=【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型
20. 【答案】 𝑓(𝑥) 的图象如图所示，𝑓(𝑥) 的单调递增区间是 (−∞,0) 和 [0,+∞)，无单调递减区
间．
【知识点】函数的单调性
21. 【答案】依次是 𝐸，𝐶，𝐴，𝐺，𝐵，𝐷，𝐻，𝐹．
【知识点】幂函数及其性质
22. 【答案】设小明班上参观禁毒教育基地的男生有 𝑥 人，女生有 𝑦 人，
𝑥+𝑦=55,
根据题意得 {
𝑥−1=1.5𝑦+4,𝑥=35,解得 {
𝑦=20.
故小明班上参观禁毒教育基地的男生有 35 人，女生有 20 人． 【知识点】函数模型的综合应用
6516
万元．
8
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